Номер 110, страница 62 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 2. Основные свойства функций - номер 110, страница 62.

Условие.

110. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{1 - \sin x}$;

б) $y = \sqrt{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}$;

в) $y = \frac{1}{\cos x - 1}$;

г) $y = \sqrt{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Область определения функции $y = \frac{1}{1 - \sin x}$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$1 - \sin x = 0$
$\sin x = 1$

Это тригонометрическое уравнение имеет решения:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, из области определения необходимо исключить эти значения.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}}$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.

Необходимо решить неравенство:
$\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} \ge 0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Преобразуем левую часть неравенства:
$-(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) \ge 0$
$-\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) \ge 0$
$-\cos x \ge 0$
$\cos x \le 0$

Функция косинуса принимает неположительные значения во второй и третьей координатных четвертях.
С учетом периодичности, решением неравенства является объединение отрезков:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Область определения функции $y = \frac{1}{\cos x - 1}$ состоит из всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$\cos x - 1 = 0$
$\cos x = 1$

Это тригонометрическое уравнение имеет решения:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, из области определения необходимо исключить эти значения.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Область определения функции $y = \sqrt{\tg x + \ctg x}$ определяется двумя условиями:
1. Аргумент $x$ должен входить в область определения тангенса и котангенса. Это значит, что $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательно: $\tg x + \ctg x \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение:
$\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.

Теперь решим неравенство:
$\frac{2}{\sin(2x)} \ge 0$

Поскольку числитель $2$ является положительным числом, данное неравенство равносильно неравенству $\sin(2x) > 0$. (Знаменатель не может быть равен нулю, что автоматически удовлетворяет условию 1).

Неравенство $\sin u > 0$ справедливо для углов $u$ в первой и второй координатных четвертях.
$2\pi k < u < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $u = 2x$:
$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$

Разделив все части неравенства на 2, получим:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.