Номер 116, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 116, страница 67.

Условие.

Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет каждое из уравнений (116–117)?

116.— а) $x^7 = 3, x \in (-\infty; \infty);$

б) $\frac{3}{x-1} = -5, x \in (-\infty; 1);$

в) $x^6 = 4, x \in (-\infty; 0];$

г) $\frac{5}{x+2} = 2, x \in (-2; \infty).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано уравнение $x^7 = 3$ и промежуток $x \in (-\infty; \infty)$. Так как показатель степени 7 является нечетным числом, данное уравнение имеет ровно один действительный корень $x = \sqrt[7]{3}$. Этот корень является действительным числом, поэтому он принадлежит промежутку $(-\infty; \infty)$. Следовательно, уравнение имеет один корень на данном промежутке.
Ответ: 1.

б) Дано уравнение $\frac{3}{x-1} = -5$ и промежуток $x \in (-\infty; 1)$. Область допустимых значений уравнения $x \neq 1$, что выполняется для данного промежутка. Решим уравнение, умножив обе части на $(x-1)$:
$3 = -5(x-1)$
$3 = -5x + 5$
$5x = 5 - 3$
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$
Проверим, принадлежит ли корень $x = \frac{2}{5}$ промежутку $(-\infty; 1)$. Так как $\frac{2}{5} = 0.4$ и $0.4 < 1$, корень принадлежит заданному промежутку. Следовательно, уравнение имеет один корень на данном промежутке.
Ответ: 1.

в) Дано уравнение $x^6 = 4$ и промежуток $x \in (-\infty; 0]$. Так как показатель степени 6 является четным числом, а правая часть уравнения ($4$) положительна, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt[6]{4}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{4}$.
Проверим принадлежность каждого корня заданному промежутку:
1. Корень $x_1 = \sqrt[6]{4}$ является положительным числом, поэтому он не принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
2. Корень $x_2 = -\sqrt[6]{4}$ является отрицательным числом, поэтому он принадлежит промежутку $(-\infty; 0]$.
Таким образом, только один корень принадлежит заданному промежутку.
Ответ: 1.

г) Дано уравнение $\frac{5}{x+2} = 2$ и промежуток $x \in (-2; \infty)$. Область допустимых значений уравнения $x \neq -2$, что выполняется для данного промежутка. Решим уравнение, умножив обе части на $(x+2)$:
$5 = 2(x+2)$
$5 = 2x + 4$
$2x = 5 - 4$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Проверим, принадлежит ли корень $x = \frac{1}{2}$ промежутку $(-2; \infty)$. Так как $\frac{1}{2} = 0.5$ и $0.5 > -2$, корень принадлежит заданному промежутку. Следовательно, уравнение имеет один корень на данном промежутке.
Ответ: 1.