Номер 119, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 119, страница 67.
№119 (с. 67)
Условие. №119 (с. 67)
скриншот условия

119.-
a) $\cos t = -\frac{1}{2}$, $[0; \pi];$
Б) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[0; \pi];$
В) $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; \pi];$
Г) $\cos t = 0$, $[0; \pi].$
Решение 1. №119 (с. 67)

Решение 3. №119 (с. 67)

Решение 5. №119 (с. 67)
а)
Требуется найти решение уравнения $ \cos t = -\frac{1}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.
Общее решение уравнения $ \cos t = a $ записывается в виде $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число.
Для нашего случая $ a = -\frac{1}{2} $. Значение арккосинуса от отрицательного числа находится по формуле $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.
$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Таким образом, все решения уравнения имеют вид $ t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.
Теперь необходимо выбрать те решения, которые попадают в заданный отрезок $ [0; \pi] $.
1. Для серии решений $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{2\pi}{3} $. Это значение удовлетворяет условию $ 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi $. При $ n = 1 $, $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} $, что больше $ \pi $. При $ n = -1 $, $ t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} $, что меньше $ 0 $.
2. Для серии решений $ t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = -\frac{2\pi}{3} $, что меньше $ 0 $. При $ n = 1 $, $ t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} $, что больше $ \pi $.
Единственное решение, которое принадлежит отрезку $ [0; \pi] $, это $ \frac{2\pi}{3} $.
Ответ: $ t = \frac{2\pi}{3} $.
б)
Требуется найти решение уравнения $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.
Общее решение: $ t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n $.
Поскольку $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, общее решение имеет вид $ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
Выберем решения из отрезка $ [0; \pi] $.
1. Для серии $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{\pi}{6} $. Это значение принадлежит отрезку $ [0; \pi] $.
2. Для серии $ t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $: Ни при каком целом $ n $ решения не попадают в заданный отрезок.
Следовательно, единственное решение на отрезке $ [0; \pi] $ — это $ \frac{\pi}{6} $.
Ответ: $ t = \frac{\pi}{6} $.
в)
Требуется найти решение уравнения $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.
Общее решение: $ t = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n $.
Вычисляем арккосинус: $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
Общее решение: $ t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.
Выберем решения из отрезка $ [0; \pi] $.
1. Для серии $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{3\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет условию $ 0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi $.
2. Для серии $ t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $: Ни при каком целом $ n $ решения не попадают в заданный отрезок.
Единственное решение на отрезке $ [0; \pi] $ — это $ \frac{3\pi}{4} $.
Ответ: $ t = \frac{3\pi}{4} $.
г)
Требуется найти решение уравнения $ \cos t = 0 $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение записывается как $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число.
Найдем решения, принадлежащие отрезку $ [0; \pi] $, решив неравенство: $ 0 \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \pi $
Разделим все части на $ \pi $: $ 0 \le \frac{1}{2} + n \le 1 $
Вычтем $ \frac{1}{2} $ из всех частей: $ -\frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{2} $
Единственное целое значение $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ n = 0 $.
Подставив $ n = 0 $ в формулу общего решения, получаем: $ t = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $.
Это значение принадлежит отрезку $ [0; \pi] $.
Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 119 расположенного на странице 67 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №119 (с. 67), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.