Номер 119, страница 67 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 119, страница 67.

Условие.

119.-

a) $\cos t = -\frac{1}{2}$, $[0; \pi];$

Б) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $[0; \pi];$

В) $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $[0; \pi];$

Г) $\cos t = 0$, $[0; \pi].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = -\frac{1}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение уравнения $ \cos t = a $ записывается в виде $ t = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число.

Для нашего случая $ a = -\frac{1}{2} $. Значение арккосинуса от отрицательного числа находится по формуле $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Таким образом, все решения уравнения имеют вид $ t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.

Теперь необходимо выбрать те решения, которые попадают в заданный отрезок $ [0; \pi] $.
1. Для серии решений $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{2\pi}{3} $. Это значение удовлетворяет условию $ 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi $. При $ n = 1 $, $ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} $, что больше $ \pi $. При $ n = -1 $, $ t = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} $, что меньше $ 0 $.

2. Для серии решений $ t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = -\frac{2\pi}{3} $, что меньше $ 0 $. При $ n = 1 $, $ t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} $, что больше $ \pi $.

Единственное решение, которое принадлежит отрезку $ [0; \pi] $, это $ \frac{2\pi}{3} $.

Ответ: $ t = \frac{2\pi}{3} $.

б)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение: $ t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n $.

Поскольку $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, общее решение имеет вид $ t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.

Выберем решения из отрезка $ [0; \pi] $.
1. Для серии $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{\pi}{6} $. Это значение принадлежит отрезку $ [0; \pi] $.

2. Для серии $ t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $: Ни при каком целом $ n $ решения не попадают в заданный отрезок.

Следовательно, единственное решение на отрезке $ [0; \pi] $ — это $ \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{6} $.

в)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение: $ t = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n $.

Вычисляем арккосинус: $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Общее решение: $ t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.

Выберем решения из отрезка $ [0; \pi] $.
1. Для серии $ t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $: При $ n = 0 $, $ t = \frac{3\pi}{4} $. Это значение удовлетворяет условию $ 0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi $.

2. Для серии $ t = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $: Ни при каком целом $ n $ решения не попадают в заданный отрезок.

Единственное решение на отрезке $ [0; \pi] $ — это $ \frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $ t = \frac{3\pi}{4} $.

г)

Требуется найти решение уравнения $ \cos t = 0 $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение записывается как $ t = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

Найдем решения, принадлежащие отрезку $ [0; \pi] $, решив неравенство: $ 0 \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le \pi $

Разделим все части на $ \pi $: $ 0 \le \frac{1}{2} + n \le 1 $

Вычтем $ \frac{1}{2} $ из всех частей: $ -\frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{2} $

Единственное целое значение $ n $, удовлетворяющее этому неравенству, — это $ n = 0 $.

Подставив $ n = 0 $ в формулу общего решения, получаем: $ t = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $.

Это значение принадлежит отрезку $ [0; \pi] $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} $.