Номер 122, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 122, страница 68.

Условие.

122.—

a) $ \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) $;

б) $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} $;

в) $ \arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

г) $ \arccos 1 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения значения $arccos(-\frac{1}{2})$ воспользуемся определением арккосинуса. Арккосинус числа $a$ (обозначается $arccos(a)$) – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Таким образом, нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$.

Используем формулу для арккосинуса отрицательного аргумента: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

В нашем случае $x = \frac{1}{2}$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2})$.

Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно, $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в формулу:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Проверим: угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, и $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

б) Нам нужно найти значение $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

По определению, мы ищем угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Следовательно, $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

в) Для нахождения значения $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся свойством $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Значит, $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение обратно:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Проверим: угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, и $cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

г) Нам нужно найти значение $arccos(1)$.

По определению, мы ищем угол $\alpha$ в диапазоне $[0; \pi]$ такой, что $cos(\alpha) = 1$.

Известно, что косинус равен единице при угле, равном $0$ (а также $2\pi k$ для любого целого $k$).

Из всех этих значений только угол $0$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Следовательно, $arccos(1) = 0$.

Ответ: $0$.