Номер 127, страница 68 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 127, страница 68.

Условие.

127. a) $ \arccos (-0,5) + \arcsin (-0,5); $

б) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin (-1); $

в) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

г) $ \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}. $

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления значения выражения $\arccos(-0,5) + \arcsin(-0,5)$ воспользуемся свойствами обратных тригонометрических функций.
Свойство для арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
Свойство для арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
$\arccos(-0,5) = \pi - \arccos(0,5) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$\arcsin(-0,5) = -\arcsin(0,5) = -\frac{\pi}{6}$.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Найдем значение выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(-1)$.
Вычислим значение каждого члена выражения:
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
Выполним вычитание:
$\frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{4}$.

в) Для выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ можно применить тождество $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.
Это тождество справедливо для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$.
В данном случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$, тождество применимо.
Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Найдем значение выражения $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычислим значения арккосинуса и арксинуса по табличным значениям:
$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{12}$.