Номер 133, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 133, страница 69.

Условие.

133. Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:

a) $\operatorname{arctg} x_1 < \operatorname{arctg} x_2$;

б) $\operatorname{arcctg} x_1 > \operatorname{arcctg} x_2$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

a) Чтобы доказать, что из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\arctan x_1 < \arctan x_2$, мы докажем, что функция $f(x) = \arctan x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Производная функции арктангенс равна:
$f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
Рассмотрим знак производной. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $1+x^2 \ge 1$.
Это означает, что дробь $\frac{1}{1+x^2}$ всегда положительна для любого значения $x$. Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения.
Поскольку производная функции $f(x) = \arctan x$ положительна на всей числовой прямой, функция является строго возрастающей.
Из определения строго возрастающей функции следует, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$, то есть $\arctan x_1 < \arctan x_2$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $\arctan x_1 < \arctan x_2$ при $x_1 < x_2$ доказано.

б) Чтобы доказать, что из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\text{arccot } x_1 > \text{arccot } x_2$, мы докажем, что функция $g(x) = \text{arccot } x$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную. Производная функции арккотангенс равна:
$g'(x) = (\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$
Рассмотрим знак производной. Как и в пункте а), выражение $1+x^2$ всегда положительно.
Следовательно, дробь $\frac{1}{1+x^2}$ всегда положительна, а выражение $-\frac{1}{1+x^2}$ всегда отрицательно для любого значения $x$. Таким образом, $g'(x) < 0$ на всей области определения.
Поскольку производная функции $g(x) = \text{arccot } x$ отрицательна на всей числовой прямой, функция является строго убывающей.
Из определения строго убывающей функции следует, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$, то есть $\text{arccot } x_1 > \text{arccot } x_2$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $\text{arccot } x_1 > \text{arccot } x_2$ при $x_1 < x_2$ доказано.