Номер 140, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 140, страница 74.

Условие.

140. a) $ \text{tg } x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $;

б) $ \text{ctg } x = \sqrt{3} $;

в) $ \text{tg } x = 1 $;

г) $ \text{tg } x = 0 $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение уравнения вида $\tg x = a$ записывается по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставляем это значение в формулу:

$x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$

Арктангенс — нечетная функция, поэтому $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$. Применим это свойство:

$x = -\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n$

Известно, что $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно, $\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Окончательный вид решения:

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\ctg x = \sqrt{3}$

Общее решение уравнения вида $\ctg x = a$ записывается по формуле $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $a = \sqrt{3}$. Подставляем в формулу:

$x = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) + \pi n$

Табличное значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$ и $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$.

Таким образом, решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg x = 1$

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = 1$. Следовательно:

$x = \operatorname{arctg}(1) + \pi n$

Значение $\operatorname{arctg}(1)$ является табличным и равно $\frac{\pi}{4}$, поскольку $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Подставляем значение и получаем ответ:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\tg x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение можно найти, используя общую формулу $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

При $a=0$ имеем:

$x = \operatorname{arctg}(0) + \pi n$

Значение $\operatorname{arctg}(0)$ равно $0$, так как $\operatorname{tg}(0) = 0$.

Тогда решение уравнения:

$x = 0 + \pi n = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Другой способ рассуждения: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Уравнение $\sin x = 0$ имеет корни $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = (-1)^n \neq 0$, следовательно, эти значения являются решениями.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.