Номер 134, страница 69 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 134, страница 69.

Условие.

Расположите числа в порядке возрастания (134—135).

134. a) $\arcsin \frac{\pi}{6}$, $\arcsin (-0,3)$, $\arcsin 0,9$;

б) $\arcsin (-0,5)$, $\arcsin (-0,7)$, $\arcsin \frac{\pi}{8}$;

в) $\arccos 0,4$, $\arccos (-0,2)$, $\arccos (-0,8)$;

г) $\arccos 0,9$, $\arccos (-0,6)$, $\arccos \frac{\pi}{5}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства монотонности обратных тригонометрических функций:

• Функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это значит, что если $x_1 < x_2$, то $\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2)$.
• Функция $y = \arccos(x)$ является убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это значит, что если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

а)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arcsin \frac{\pi}{6}$, $\arcsin (-0,3)$, $\arcsin 0,9$.

Поскольку функция $y = \arcsin(x)$ возрастающая, порядок значений функции совпадает с порядком ее аргументов. Сравним аргументы.

Найдем приближенное значение для $\frac{\pi}{6}$, используя $\pi \approx 3,1416$: $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,1416}{6} \approx 0,5236$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,3 < 0,5236 < 0,9$. Следовательно, $-0,3 < \frac{\pi}{6} < 0,9$.

Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, то и значения арксинусов будут располагаться в том же порядке: $\arcsin(-0,3) < \arcsin(\frac{\pi}{6}) < \arcsin(0,9)$.

Ответ: $\arcsin (-0,3)$, $\arcsin \frac{\pi}{6}$, $\arcsin 0,9$.

б)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arcsin (-0,5)$, $\arcsin (-0,7)$, $\arcsin \frac{\pi}{8}$.

Функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей. Сравним ее аргументы.

Найдем приближенное значение для $\frac{\pi}{8}$, используя $\pi \approx 3,1416$: $\frac{\pi}{8} \approx \frac{3,1416}{8} \approx 0,3927$.

Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,7 < -0,5 < 0,3927$. Следовательно, $-0,7 < -0,5 < \frac{\pi}{8}$.

Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, порядок значений функции сохраняется: $\arcsin(-0,7) < \arcsin(-0,5) < \arcsin(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $\arcsin (-0,7)$, $\arcsin (-0,5)$, $\arcsin \frac{\pi}{8}$.

в)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arccos 0,4$, $\arccos (-0,2)$, $\arccos (-0,8)$.

Функция $y = \arccos(x)$ является убывающей. Это означает, что чем больше аргумент, тем меньше значение функции. Порядок значений будет обратным порядку аргументов.

Сначала расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,8 < -0,2 < 0,4$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ убывающая, для значений функции неравенство меняет знак: $\arccos(-0,8) > \arccos(-0,2) > \arccos(0,4)$.

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $\arccos(0,4) < \arccos(-0,2) < \arccos(-0,8)$.

Ответ: $\arccos 0,4$, $\arccos (-0,2)$, $\arccos (-0,8)$.

г)

Нужно расположить в порядке возрастания числа $\arccos 0,9$, $\arccos (-0,6)$, $\arccos \frac{\pi}{5}$.

Функция $y = \arccos(x)$ является убывающей. Сравним ее аргументы.

Найдем приближенное значение для $\frac{\pi}{5}$, используя $\pi \approx 3,1416$: $\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,1416}{5} \approx 0,6283$.

Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,6 < 0,6283 < 0,9$. Следовательно, $-0,6 < \frac{\pi}{5} < 0,9$.

Так как функция $\arccos(x)$ убывающая, порядок значений функции будет обратным: $\arccos(-0,6) > \arccos(\frac{\pi}{5}) > \arccos(0,9)$.

Запишем эти числа в порядке возрастания: $\arccos(0,9) < \arccos(\frac{\pi}{5}) < \arccos(-0,6)$.

Ответ: $\arccos 0,9$, $\arccos \frac{\pi}{5}$, $\arccos (-0,6)$.