Номер 138, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 138, страница 74.

Условие.

138. a) $sin x = \frac{1}{2}$;

б) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $sin x = -\frac{1}{2}$;

г) $sin x = -1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$.

Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем общую формулу для решения уравнений вида $\sin x = a$:

$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим арксинус, используя свойство нечетности функции арксинус ($\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$):

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в формулу:

$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$, что можно записать как $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Применяем ту же общую формулу: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = -\frac{1}{2}$.

Находим арксинус:

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу решения:

$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, или $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\sin x = -1$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Значение синуса равно -1 в единственной точке на тригонометрической окружности. Эта точка соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к частному решению целые кратные периода.

Таким образом, общее решение имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.