Номер 138, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 138, страница 74.
№138 (с. 74)
Условие. №138 (с. 74)
скриншот условия

138. a) $sin x = \frac{1}{2}$;
б) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
в) $sin x = -\frac{1}{2}$;
г) $sin x = -1$.
Решение 1. №138 (с. 74)

Решение 3. №138 (с. 74)

Решение 4. №138 (с. 74)


Решение 5. №138 (с. 74)
а) Решим уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнений вида $\sin x = a$:
$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим арксинус, используя свойство нечетности функции арксинус ($\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$):
$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение в формулу:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n$, что можно записать как $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) Решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$.
Применяем ту же общую формулу: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В этом уравнении $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арксинус:
$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу решения:
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, или $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г) Решим уравнение $\sin x = -1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Значение синуса равно -1 в единственной точке на тригонометрической окружности. Эта точка соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к частному решению целые кратные периода.
Таким образом, общее решение имеет вид:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 138 расположенного на странице 74 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №138 (с. 74), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.