Номер 137, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 137, страница 74.

Условие.

137. a) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0;$

б) $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0;$

в) $2 \cos x + \sqrt{2} = 0;$

г) $2 \cos x - 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим уравнение $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$.

Сначала выразим $\cos x$ из уравнения. Перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:

$2 \cos x = -\sqrt{3}$

Теперь разделим обе части на 2:

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем значение арккосинуса:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sqrt{2} \cos x - 1 = 0$.

Выразим $\cos x$ из уравнения. Перенесем -1 в правую часть:

$\sqrt{2} \cos x = 1$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем общую формулу решения для уравнения $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, общее решение уравнения:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$.

Выразим $\cos x$. Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть:

$2 \cos x = -\sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем общую формулу решения для уравнения $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем значение арккосинуса:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $2 \cos x - 1 = 0$.

Выразим $\cos x$ из уравнения. Перенесем -1 в правую часть:

$2 \cos x = 1$

Разделим обе части на 2:

$\cos x = \frac{1}{2}$

Применим общую формулу решения для уравнения $\cos x = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = \frac{1}{2}$.

$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Общее решение уравнения имеет вид:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.