Номер 143, страница 74 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 143, страница 74.

Условие.

143. а) $ \sin x = -0.6; $

б) $ \operatorname{ctg} x = 2.5; $

в) $ \cos x = 0.3; $

г) $ \operatorname{tg} x = -3.5. $

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а) Решим уравнение $ \sin x = -0,6 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin x = a $. Общее решение для такого уравнения, при условии $ |a| \le 1 $, записывается по формуле: $ x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = -0,6 $. Так как $ |-0,6| = 0,6 \le 1 $, уравнение имеет решение.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = (-1)^k \arcsin(-0,6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-y) = -\arcsin(y) $, мы можем упростить выражение:

$ x = (-1)^k (-\arcsin(0,6)) + \pi k $

$ x = (-1)^{k+1} \arcsin(0,6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 0,6 $ не является табличным значением синуса, ответ остается в виде выражения с арксинусом.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \arcsin(0,6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \operatorname{ctg} x = 2,5 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \operatorname{ctg} x = a $. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле: $ x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = 2,5 $.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \operatorname{arcctg}(2,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 2,5 $ не является табличным значением котангенса, ответ записывается с использованием функции арккотангенса.

Ответ: $ x = \operatorname{arcctg}(2,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим уравнение $ \cos x = 0,3 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos x = a $. Общее решение для такого уравнения, при условии $ |a| \le 1 $, записывается по формуле: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = 0,3 $. Так как $ |0,3| = 0,3 \le 1 $, уравнение имеет решение.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 0,3 $ не является табличным значением косинуса, ответ остается в виде выражения с арккосинусом.

Ответ: $ x = \pm \arccos(0,3) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \operatorname{tg} x = -3,5 $.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \operatorname{tg} x = a $. Общее решение для такого уравнения записывается по формуле: $ x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В данном случае $ a = -3,5 $.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \operatorname{arctg}(-3,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса $ \operatorname{arctg}(-y) = -\operatorname{arctg}(y) $, мы можем переписать решение:

$ x = -\operatorname{arctg}(3,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Поскольку $ 3,5 $ не является табличным значением тангенса, ответ записывается с использованием функции арктангенса.

Ответ: $ x = -\operatorname{arctg}(3,5) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.