Номер 150, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 150, страница 75.

Условие.

150. Докажите, что все решения уравнения $ctg\ t = a$ находятся по формуле $t = arcctg\ a + \pi n$, $n \in Z$.

Решение 1.

Решение 5.

Разделим доказательство на две части. Сначала мы покажем, что все числа, заданные формулой, действительно являются решениями уравнения. Затем мы покажем, что других решений не существует.

1. Доказательство того, что числа вида $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$ являются решениями.
По определению арккотангенса, $\operatorname{arcctg} a$ — это угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, для которого выполняется $ctg \alpha = a$.
Пусть $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Подставим это выражение в левую часть уравнения $ctg t = a$:
$ctg t = ctg(\operatorname{arcctg} a + \pi n)$.
Котангенс — это периодическая функция с наименьшим положительным периодом $\pi$. Это означает, что для любого $x$ из области определения и любого целого $n$ справедливо равенство $ctg(x + \pi n) = ctg(x)$.
Используя это свойство, получаем:
$ctg(\operatorname{arcctg} a + \pi n) = ctg(\operatorname{arcctg} a)$.
По определению арккотангенса, $ctg(\operatorname{arcctg} a) = a$.
Следовательно, $ctg t = a$. Это доказывает, что любое число вида $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$ является решением исходного уравнения.

2. Доказательство того, что других решений нет.
Пусть $t_1$ — это произвольное решение уравнения $ctg t = a$, то есть $ctg t_1 = a$.
Обозначим $t_0 = \operatorname{arcctg} a$. Мы знаем, что $t_0$ также является решением, так как $ctg t_0 = ctg(\operatorname{arcctg} a) = a$.
Таким образом, мы имеем равенство:
$ctg t_1 = ctg t_0$.
Два числа имеют одинаковые котангенсы тогда и только тогда, когда они отличаются на целое число периодов $\pi$. То есть:
$t_1 = t_0 + \pi n$ для некоторого целого числа $n \in \mathbb{Z}$.
(Более формально: из $ctg t_1 = ctg t_0$ следует $ctg t_1 - ctg t_0 = 0$, или $\frac{\sin(t_0 - t_1)}{\sin t_1 \sin t_0} = 0$. Это равенство выполняется, когда числитель $\sin(t_0 - t_1) = 0$, что означает $t_0 - t_1 = \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $t_1 = t_0 - \pi k = t_0 + \pi n$, где $n=-k \in \mathbb{Z}$.)
Подставив $t_0 = \operatorname{arcctg} a$ в полученное выражение для $t_1$, получаем:
$t_1 = \operatorname{arcctg} a + \pi n$.
Поскольку $t_1$ — это любое решение уравнения, мы доказали, что все решения должны иметь именно такой вид.

Таким образом, мы установили, что совокупность чисел $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, является полным множеством решений уравнения $ctg t = a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что все решения уравнения $ctg t = a$ находятся по формуле $t = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.