Номер 148, страница 75 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 148, страница 75.

Условие.

148. Для каждой из функций

$y = 2 \cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right)$ и $y = \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$

найдите координаты общих точек ее графика с прямой:

a) $x = 4,5\pi$;

б) $y = -1$;

в) $y = 1$;

г) $y = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для функции $y = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

а) Найдем общую точку графика с прямой $x = 4,5\pi$. Для этого подставим значение $x$ в уравнение функции:

$y = 2 \cos\left(2 \cdot 4,5\pi - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(9\pi - \frac{\pi}{3}\right)$

Используя формулы приведения, получаем: $ \cos\left(9\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Тогда $y = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

Координаты общей точки: $(4,5\pi; -1)$.

Ответ: $(4,5\pi; -1)$.

б) Найдем общие точки с прямой $y = -1$.

Решим уравнение $-1 = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, что равносильно $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса равен: $2x - \frac{\pi}{3} = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Получаем два семейства решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

2) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi k; -1)$, $(-\frac{\pi}{6} + \pi k; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Найдем общие точки с прямой $y = 1$.

Решим уравнение $1 = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, то есть $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса равен: $2x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Получаем два семейства решений:

1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

2) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \pi k; 1)$, $(\pi k; 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Найдем общие точки с прямой $y = 0$.

Решим уравнение $0 = 2 \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, то есть $\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Аргумент косинуса равен: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k = \frac{5\pi}{6} + \pi k$.

$x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

---

Для функции $y = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$

а) Найдем общую точку графика с прямой $x = 4,5\pi$.

$y = \sin\left(\frac{4,5\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{10\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)$.

Так как $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$, то $y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Координаты общей точки: $(4,5\pi; 1)$.

Ответ: $(4,5\pi; 1)$.

б) Найдем общие точки с прямой $y = -1$.

Решим уравнение $-1 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

Это частный случай, решение: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

$x = -\frac{3\pi}{2} + 4\pi k$.

Ответ: $(-\frac{3\pi}{2} + 4\pi k; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Найдем общие точки с прямой $y = 1$.

Решим уравнение $1 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$x = \frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + 4\pi k; 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Найдем общие точки с прямой $y = 0$.

Решим уравнение $0 = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение: $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.