Номер 153, страница 79 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 153, страница 79.

Условие.

153. a) $ \mathrm{tg} \, t > -\sqrt{3}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

б) $ \mathrm{tg} \, t < \frac{1}{\sqrt{3}}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

в) $ \mathrm{tg} \, t > \frac{\sqrt{3}}{3}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

г) $ \mathrm{tg} \, t < -1, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right). $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим неравенство $tg t > -\sqrt{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Сначала найдем значение $t$, для которого $tg t = -\sqrt{3}$. Это значение $t_0 = arctg(-\sqrt{3})$.

Так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и функция тангенса нечетная, то $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Функция $y = tg t$ является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поэтому неравенство $tg t > -\sqrt{3}$ равносильно неравенству $t > arctg(-\sqrt{3})$, то есть $t > -\frac{\pi}{3}$.

Учитывая заданный интервал $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем итоговое решение: $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2})$.

б) Решим неравенство $tg t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Найдем значение $t$, для которого $tg t = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это $t_0 = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку функция $y = tg t$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, неравенство $tg t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ равносильно неравенству $t < arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})$, то есть $t < \frac{\pi}{6}$.

С учетом области определения $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем итоговое решение: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6})$.

в) Решим неравенство $tg t > \frac{\sqrt{3}}{3}$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдем значение $t$, для которого $tg t = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это $t_0 = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $y = tg t$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, неравенство $tg t > \frac{\sqrt{3}}{3}$ равносильно неравенству $t > arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$, то есть $t > \frac{\pi}{6}$.

Учитывая заданный интервал $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем решение: $\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $t \in (\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})$.

г) Решим неравенство $tg t < -1$ на интервале $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Найдем значение $t$, для которого $tg t = -1$. Это $t_0 = arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Функция $y = tg t$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому неравенство $tg t < -1$ равносильно неравенству $t < arctg(-1)$, то есть $t < -\frac{\pi}{4}$.

С учетом области определения $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, получаем итоговое решение: $-\frac{\pi}{2} < t < -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4})$.