Номер 160, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 160, страница 80.

Условие.

160.—

a) $\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6} \leq \frac{1}{2}$;

б) $\sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $4 \sin 2x \cos 2x \geq \sqrt{2}$;

г) $\cos \frac{\pi}{8} \cos x - \sin x \sin \frac{\pi}{8} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Исходное неравенство: $ \sin x \cos\frac{\pi}{6} - \cos x \sin\frac{\pi}{6} \le \frac{1}{2} $.
Применяем формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:
$ \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{1}{2} $.
Решением простейшего тригонометрического неравенства $ \sin t \le \frac{1}{2} $ является промежуток $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполняем обратную замену $ t = x - \frac{\pi}{6} $:
$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $
Прибавляем $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям двойного неравенства:
$ \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $
$ \pi + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi n $.
Ответ: $ [\pi + 2\pi n; \frac{7\pi}{3} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное неравенство: $ \sin\frac{\pi}{4} \cos x + \cos\frac{\pi}{4} \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Применяем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $:
$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением простейшего тригонометрического неравенства $ \sin t < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ является интервал $ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполняем обратную замену $ t = x + \frac{\pi}{4} $:
$ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n $
Вычитаем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей двойного неравенства:
$ \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ \pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $.
Ответ: $ (\pi + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

в)

Исходное неравенство: $ 4 \sin 2x \cos 2x \ge \sqrt{2} $.
Применяем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $:
$ 2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = 2 \sin(2 \cdot 2x) = 2 \sin(4x) $.
Неравенство принимает вид $ 2 \sin(4x) \ge \sqrt{2} $, или $ \sin(4x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением простейшего тригонометрического неравенства $ \sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $ является промежуток $ \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполняем обратную замену $ t = 4x $:
$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le 4x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $
Делим все части двойного неравенства на 4:
$ \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} $.
Ответ: $ [\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}], n \in \mathbb{Z} $.

г)

Исходное неравенство: $ \cos\frac{\pi}{8} \cos x - \sin x \sin\frac{\pi}{8} < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Применяем формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $:
$ \cos(x + \frac{\pi}{8}) < -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решением простейшего тригонометрического неравенства $ \cos t < -\frac{\sqrt{3}}{2} $ является интервал $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполняем обратную замену $ t = x + \frac{\pi}{8} $:
$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x + \frac{\pi}{8} < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $
Вычитаем $ \frac{\pi}{8} $ из всех частей двойного неравенства:
$ \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + 2\pi n $
$ \frac{20\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} + 2\pi n < x < \frac{28\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} + 2\pi n $
$ \frac{17\pi}{24} + 2\pi n < x < \frac{25\pi}{24} + 2\pi n $.
Ответ: $ (\frac{17\pi}{24} + 2\pi n; \frac{25\pi}{24} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.