Номер 162, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 162, страница 80.

Условие.

162.-

a) $3 \sin \frac{x}{4} \ge 2;$

б) $4 \cos \frac{x}{3} < -3;$

в) $5 \text{tg } 2x \le 3;$

г) $0,5 \sin 4x < -0,2.$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решим неравенство $3 \sin{\frac{x}{4}} \ge 2$.

1. Разделим обе части на 3, чтобы выделить тригонометрическую функцию:
$\sin{\frac{x}{4}} \ge \frac{2}{3}$.

2. Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{4}$. Неравенство примет вид:
$\sin t \ge \frac{2}{3}$.

3. Найдем решение для $t$. Используя единичную тригонометрическую окружность, видим, что синус принимает значения, большие или равные $\frac{2}{3}$, на дуге, заключенной между точками $\arcsin\frac{2}{3}$ и $\pi - \arcsin\frac{2}{3}$.

4. С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:
$\arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k \le t \le \pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Теперь выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:
$\arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{4} \le \pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k$.

6. Умножим все части неравенства на 4, чтобы выразить $x$:
$4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k \le x \le 4\pi - 4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k; 4\pi - 4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $4 \cos{\frac{x}{3}} < -3$.

1. Разделим обе части на 4:
$\cos{\frac{x}{3}} < -\frac{3}{4}$.

2. Введем замену $t = \frac{x}{3}$. Неравенство станет:
$\cos t < -\frac{3}{4}$.

3. На единичной окружности косинус — это абсцисса точки. Значения косинуса, меньшие $-\frac{3}{4}$, соответствуют дуге, расположенной левее прямой $x = -\frac{3}{4}$. Эта дуга заключена между точками $\arccos(-\frac{3}{4})$ и $2\pi - \arccos(-\frac{3}{4})$.

4. Учитывая периодичность косинуса, общее решение для $t$:
$\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, можно переписать решение в виде:
$\pi - \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k < t < \pi + \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k$.

5. Выполним обратную замену $t = \frac{x}{3}$:
$\pi - \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k < \frac{x}{3} < \pi + \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k$.

6. Умножим все части на 3, чтобы найти $x$:
$3\pi - 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k < x < 3\pi + 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (3\pi - 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k; 3\pi + 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $5 \text{tg } 2x \le 3$.

1. Разделим обе части на 5:
$\text{tg } 2x \le \frac{3}{5}$.

2. Введем замену $t = 2x$ и получим неравенство:
$\text{tg } t \le \frac{3}{5}$.

3. Функция тангенс является возрастающей на своем основном интервале определения $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Решением неравенства на этом интервале будет промежуток от левой асимптоты до значения, где тангенс равен $\frac{3}{5}$.

4. С учетом периодичности тангенса ($\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le \arctan\frac{3}{5} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Сделаем обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < 2x \le \arctan\frac{3}{5} + \pi k$.

6. Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x \le \frac{1}{2}\arctan\frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{1}{2}\arctan\frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2}], k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $0,5 \sin 4x < -0,2$.

1. Разделим обе части на 0,5:
$\sin 4x < \frac{-0,2}{0,5}$
$\sin 4x < -0,4$ или $\sin 4x < -\frac{2}{5}$.

2. Введем замену $t = 4x$. Неравенство примет вид:
$\sin t < -\frac{2}{5}$.

3. На единичной окружности синус — это ордината точки. Значения синуса, меньшие $-\frac{2}{5}$, соответствуют дуге, расположенной ниже прямой $y = -\frac{2}{5}$.

4. Границы этой дуги — углы, синус которых равен $-\frac{2}{5}$. Это углы $\arcsin(-\frac{2}{5})$ (в IV четверти) и $\pi - \arcsin(-\frac{2}{5})$ (в III четверти). Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, получаем углы $-\arcsin\frac{2}{5}$ и $\pi + \arcsin\frac{2}{5}$.

5. Общее решение для $t$ с учетом периода $2\pi$:
$\pi + \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k < t < 2\pi - \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Выполним обратную замену $t = 4x$:
$\pi + \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k < 4x < 2\pi - \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k$.

7. Разделим все части на 4, чтобы найти $x$:
$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}), k \in \mathbb{Z}$.