Номер 162, страница 80 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 162, страница 80.
№162 (с. 80)
Условие. №162 (с. 80)
скриншот условия

162.-
a) $3 \sin \frac{x}{4} \ge 2;$
б) $4 \cos \frac{x}{3} < -3;$
в) $5 \text{tg } 2x \le 3;$
г) $0,5 \sin 4x < -0,2.$
Решение 1. №162 (с. 80)

Решение 4. №162 (с. 80)


Решение 5. №162 (с. 80)
а)
Решим неравенство $3 \sin{\frac{x}{4}} \ge 2$.
1. Разделим обе части на 3, чтобы выделить тригонометрическую функцию:
$\sin{\frac{x}{4}} \ge \frac{2}{3}$.
2. Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{4}$. Неравенство примет вид:
$\sin t \ge \frac{2}{3}$.
3. Найдем решение для $t$. Используя единичную тригонометрическую окружность, видим, что синус принимает значения, большие или равные $\frac{2}{3}$, на дуге, заключенной между точками $\arcsin\frac{2}{3}$ и $\pi - \arcsin\frac{2}{3}$.
4. С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:
$\arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k \le t \le \pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
5. Теперь выполним обратную замену $t = \frac{x}{4}$:
$\arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{4} \le \pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k$.
6. Умножим все части неравенства на 4, чтобы выразить $x$:
$4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k \le x \le 4\pi - 4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k; 4\pi - 4\arcsin\frac{2}{3} + 8\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
б)
Решим неравенство $4 \cos{\frac{x}{3}} < -3$.
1. Разделим обе части на 4:
$\cos{\frac{x}{3}} < -\frac{3}{4}$.
2. Введем замену $t = \frac{x}{3}$. Неравенство станет:
$\cos t < -\frac{3}{4}$.
3. На единичной окружности косинус — это абсцисса точки. Значения косинуса, меньшие $-\frac{3}{4}$, соответствуют дуге, расположенной левее прямой $x = -\frac{3}{4}$. Эта дуга заключена между точками $\arccos(-\frac{3}{4})$ и $2\pi - \arccos(-\frac{3}{4})$.
4. Учитывая периодичность косинуса, общее решение для $t$:
$\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, можно переписать решение в виде:
$\pi - \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k < t < \pi + \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k$.
5. Выполним обратную замену $t = \frac{x}{3}$:
$\pi - \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k < \frac{x}{3} < \pi + \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k$.
6. Умножим все части на 3, чтобы найти $x$:
$3\pi - 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k < x < 3\pi + 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (3\pi - 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k; 3\pi + 3\arccos\frac{3}{4} + 6\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
в)
Решим неравенство $5 \text{tg } 2x \le 3$.
1. Разделим обе части на 5:
$\text{tg } 2x \le \frac{3}{5}$.
2. Введем замену $t = 2x$ и получим неравенство:
$\text{tg } t \le \frac{3}{5}$.
3. Функция тангенс является возрастающей на своем основном интервале определения $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Решением неравенства на этом интервале будет промежуток от левой асимптоты до значения, где тангенс равен $\frac{3}{5}$.
4. С учетом периодичности тангенса ($\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t \le \arctan\frac{3}{5} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
5. Сделаем обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < 2x \le \arctan\frac{3}{5} + \pi k$.
6. Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x \le \frac{1}{2}\arctan\frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{1}{2}\arctan\frac{3}{5} + \frac{\pi k}{2}], k \in \mathbb{Z}$.
г)
Решим неравенство $0,5 \sin 4x < -0,2$.
1. Разделим обе части на 0,5:
$\sin 4x < \frac{-0,2}{0,5}$
$\sin 4x < -0,4$ или $\sin 4x < -\frac{2}{5}$.
2. Введем замену $t = 4x$. Неравенство примет вид:
$\sin t < -\frac{2}{5}$.
3. На единичной окружности синус — это ордината точки. Значения синуса, меньшие $-\frac{2}{5}$, соответствуют дуге, расположенной ниже прямой $y = -\frac{2}{5}$.
4. Границы этой дуги — углы, синус которых равен $-\frac{2}{5}$. Это углы $\arcsin(-\frac{2}{5})$ (в IV четверти) и $\pi - \arcsin(-\frac{2}{5})$ (в III четверти). Используя свойство $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, получаем углы $-\arcsin\frac{2}{5}$ и $\pi + \arcsin\frac{2}{5}$.
5. Общее решение для $t$ с учетом периода $2\pi$:
$\pi + \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k < t < 2\pi - \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
6. Выполним обратную замену $t = 4x$:
$\pi + \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k < 4x < 2\pi - \arcsin\frac{2}{5} + 2\pi k$.
7. Разделим все части на 4, чтобы найти $x$:
$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}), k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 162 расположенного на странице 80 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №162 (с. 80), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.