Номер 169, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 169, страница 84.

Условие.

Решите уравнения (169—174).

169.— a) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x = 2 \cos^2 x;$

б) $2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0;$

в) $9 \sin x \cos x - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x;$

г) $2 \sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x = 2 \cos^2 x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$

Проверим, являются ли решениями уравнения значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot 0 = 3$

Поскольку $3 \neq 0$, значения $x$, для которых $\cos x = 0$, не являются корнями уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$, не равный нулю.

$3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Используя тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$3 \tan^2 x + \tan x - 2 = 0$

Введем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к исходной переменной:

1) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

б) $2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение:

$2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 = 1$

Так как $1 \neq 0$, то $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 - 3 \tan x + \tan^2 x = 0$

Перепишем в стандартном виде и сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = \arctan(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

в) $9 \sin x \cos x - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$2 \sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 7 \cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляем:

$2 \cdot 1 - 9 \cdot 0 + 7 \cdot 0 = 2$

Поскольку $2 \neq 0$, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:

$2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 9 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 7 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - 9 \tan x + 7 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 - 9t + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{9 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{7}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = \arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

г) $2 \sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$

Перенесем $\cos^2 x$ в левую часть:

$2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$.

$2 \cdot 1 - 0 - 0 = 2$

Так как $2 \neq 0$, то $\cos x \neq 0$. Делим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Выполним замену $t = \tan x$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Производим обратную замену:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.