Номер 166, страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 166, страница 83.

Условие.

166. а) $2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0$;

б) $\cos^2 x + 3 \sin x = 3$;

в) $4 \cos x = 4 - \sin^2 x$;

г) $8 \sin^2 x + \cos x + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$

$-2\sin^2 x + \sin x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$2\sin^2 x - \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $t_1 = \frac{3}{2}$. Получаем уравнение $\sin x = \frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $\frac{3}{2} > 1$, что выходит за пределы области значений функции синус.

2. $t_2 = -1$. Получаем уравнение $\sin x = -1$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x + 3 \sin x = 3$

Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-\sin^2 x + 3 \sin x + 1 - 3 = 0$

$-\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

Умножим на -1:

$\sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x = 2$. Уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$.

2. $\sin x = 1$. Решение этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \cos x = 4 - \sin^2 x$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$4 \cos x = 4 - (1 - \cos^2 x)$

$4 \cos x = 4 - 1 + \cos^2 x$

$4 \cos x = 3 + \cos^2 x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$\cos^2 x - 4 \cos x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = 3$. Уравнение не имеет решений, так как $3 > 1$.

2. $\cos x = 1$. Решение этого уравнения:

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \sin^2 x + \cos x + 1 = 0$

Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:

$8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$

$8 - 8\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$

$-8\cos^2 x + \cos x + 9 = 0$

Умножим на -1:

$8\cos^2 x - \cos x - 9 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$8t^2 - t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{1 + 17}{2 \cdot 8} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$

$t_2 = \frac{1 - 17}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = \frac{9}{8}$. Уравнение не имеет решений, так как $\frac{9}{8} > 1$.

2. $\cos x = -1$. Решение этого уравнения:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.