Номер 170, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 170, страница 84.

Условие.

170.—

а) $4 \sin^2 x - \sin 2x = 3;$

б) $\cos 2x = 2 \cos x - 1;$

в) $\sin 2x - \cos x = 0;$

г) $\sin 2x + 4 \cos^2 x = 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $4 \sin^2 x - \sin 2x = 3$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество, представив число 3 как $3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, и $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (так как $\cos x \neq 0$):

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$t_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Вернемся к замене:

1) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x = 2 \cos x - 1$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$.

Подставим в уравнение:

$2 \cos^2 x - 1 = 2 \cos x - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2 \cos^2 x - 2 \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:

$2 \cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin 2x - \cos x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим в уравнение:

$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 2x + 4 \cos^2 x = 1$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Подставим в уравнение:

$2 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, например, в правую:

$0 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x - 4 \cos^2 x$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение, аналогичное уравнению в пункте а). Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид $1 - 0 - 0 = 1 \neq 0$. Значит, можно разделить на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$, получим $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к замене:

1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.