Номер 1, страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 1, страница 91.

Условие.

1. 1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связывающие радианную и градусную меры угла.

2) Выразите в радианной мере величину угла:

а) $18^\circ$; б) $-250^\circ$; в) $-360^\circ$; г) $225^\circ$.

3) Выразите в градусной мере величину угла:

а) $\pi$; б) $-2,5$; в) $-\frac{\pi}{3}$; г) 3.

Решение 5.

1) Угол в 1 радиан — это центральный угол в окружности, у которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу этой окружности.

Связь между радианной и градусной мерой устанавливается через соотношение, что развернутый угол равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Из этого следуют формулы для перевода:

• Из градусов в радианы: если угол равен $\alpha$ градусов, то его радианная мера вычисляется как $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.
• Из радиан в градусы: если угол равен $\beta$ радиан, то его градусная мера вычисляется как $\beta^\circ = \beta_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

Ответ: Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Формулы связи: $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$ и $\alpha^\circ = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

2) Для перевода величины угла из градусной меры в радианную используем формулу: $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

а) $18^\circ = 18 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{18\pi}{180} = \frac{\pi}{10}$

Ответ: $\frac{\pi}{10}$

б) $-250^\circ = -250 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{25\pi}{18}$

Ответ: $-\frac{25\pi}{18}$

в) $-360^\circ = -360 \cdot \frac{\pi}{180} = -2\pi$

Ответ: $-2\pi$

г) $225^\circ = 225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45 \cdot 5}{45 \cdot 4}\pi = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$

3) Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используем формулу: $\alpha^\circ = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

а) $\pi$ рад = $\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$

б) $-2,5$ рад = $-2,5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{450^\circ}{\pi}$

Ответ: $(-\frac{450}{\pi})^\circ$

в) $-\frac{\pi}{3}$ рад = $-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{3} = -60^\circ$

Ответ: $-60^\circ$

г) $3$ рад = $3 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{540^\circ}{\pi}$

Ответ: $(\frac{540}{\pi})^\circ$