Номер 7, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 7, страница 92.

Условие.

7. 1) Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (разности).

2) Найдите значение выражения:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$, если $\sin\alpha=\frac{2}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos\frac{\pi}{12}$ и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}$;

в) $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$, если $\cos\alpha=-\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

3) Докажите тождество:

а) $\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin\alpha$;

б) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\operatorname{tg}2x$;

в) $\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}=\sqrt{3}$;

г) $\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta$.

Решение 5.

1) Формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов:

• Синус суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $
• Синус разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $
• Косинус суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $
• Косинус разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $
• Тангенс суммы: $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $
• Тангенс разности: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $

2) a) Для нахождения значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Подставим наши значения: $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha $.
Известны табличные значения: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
По условию $ \sin\alpha = \frac{2}{3} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (первая четверть). Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.
Так как угол $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Теперь подставим все значения в формулу:
$ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{6} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{6} $.

2) б) Для нахождения $ \cos\frac{\pi}{12} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{12} $, представим угол $ \frac{\pi}{12} $ в виде разности известных углов, например, $ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} $.
Найдем косинус, используя формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} $.
Подставим табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
Теперь найдем тангенс, используя формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}x - \text{tg}y}{1 + \text{tg}x\text{tg}y} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{12} = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\frac{\pi}{6}}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\frac{\pi}{6}} $.
Подставим табличные значения: $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} $.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $, $ \text{tg}\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3} $.

2) в) Для нахождения $ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ используем формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha $.
Известны табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
По условию $ \cos\alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ (вторая четверть). Найдем $ \sin\alpha $ из тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Подставим все значения в формулу:
$ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}-1}{6} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}-1}{6} $.

3) а) Докажем тождество $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) + \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\sin\alpha $.
Раскроем синус суммы и синус разности в левой части выражения:
Левая часть = $ (\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) + (\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) $.
Приведем подобные слагаемые: $ \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $ и $ -\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $ взаимно уничтожаются.
Остается $ 2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем $ 2\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin\alpha $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) б) Докажем тождество $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) - \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = 2\text{tg}2x $.
Преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности. Учтем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{4}=1 $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}x}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}x}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} $.
Подставим в исходное выражение:
Левая часть = $ \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} - \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} $.
Приведем к общему знаменателю $ (1 - \text{tg}x)(1 + \text{tg}x) = 1 - \text{tg}^2x $:
$ \frac{(1 + \text{tg}x)^2 - (1 - \text{tg}x)^2}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{(1 + 2\text{tg}x + \text{tg}^2x) - (1 - 2\text{tg}x + \text{tg}^2x)}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{4\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Теперь рассмотрим правую часть. По формуле тангенса двойного угла $ \text{tg}2x = \frac{2\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Правая часть = $ 2\text{tg}2x = 2 \cdot \frac{2\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{4\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) в) Докажем тождество $ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha)}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha)} = \sqrt{3} $.
Выражение в левой части в точности соответствует формуле тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A\text{tg}B} $, где $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} - \alpha $.
Следовательно, левая часть равна $ \text{tg}(\alpha + (\frac{\pi}{3} - \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) $.
Значение $ \text{tg}(\frac{\pi}{3}) $ равно $ \sqrt{3} $.
Таким образом, $ \sqrt{3} = \sqrt{3} $. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) г) Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $.
Раскроем синус суммы в числителе левой части:
Левая часть = $ \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} $.
Разделим дробь на две:
$ \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} $.
Сократим одинаковые множители в каждой дроби:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $.
По определению тангенса $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому выражение равно $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.