Номер 7, страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 7, страница 92.

№7 (с. 92)
Условие. №7 (с. 92)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 92, номер 7, Условие

7. 1) Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (разности).

2) Найдите значение выражения:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$, если $\sin\alpha=\frac{2}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos\frac{\pi}{12}$ и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}$;

в) $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$, если $\cos\alpha=-\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

3) Докажите тождество:

а) $\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin\alpha$;

б) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\operatorname{tg}2x$;

в) $\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}=\sqrt{3}$;

г) $\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta$.

Решение 5. №7 (с. 92)

1) Формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов:

  • Синус суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $
  • Синус разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $
  • Косинус суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $
  • Косинус разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $
  • Тангенс суммы: $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $
  • Тангенс разности: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $

2) a) Для нахождения значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Подставим наши значения: $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha $.
Известны табличные значения: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
По условию $ \sin\alpha = \frac{2}{3} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (первая четверть). Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.
Так как угол $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Теперь подставим все значения в формулу:
$ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{6} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{6} $.

2) б) Для нахождения $ \cos\frac{\pi}{12} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{12} $, представим угол $ \frac{\pi}{12} $ в виде разности известных углов, например, $ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} $.
Найдем косинус, используя формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} $.
Подставим табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
Теперь найдем тангенс, используя формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}x - \text{tg}y}{1 + \text{tg}x\text{tg}y} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{12} = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\frac{\pi}{6}}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\frac{\pi}{6}} $.
Подставим табличные значения: $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} $.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $, $ \text{tg}\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3} $.

2) в) Для нахождения $ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ используем формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha $.
Известны табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
По условию $ \cos\alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ (вторая четверть). Найдем $ \sin\alpha $ из тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Подставим все значения в формулу:
$ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}-1}{6} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}-1}{6} $.

3) а) Докажем тождество $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) + \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\sin\alpha $.
Раскроем синус суммы и синус разности в левой части выражения:
Левая часть = $ (\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) + (\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) $.
Приведем подобные слагаемые: $ \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $ и $ -\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $ взаимно уничтожаются.
Остается $ 2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем $ 2\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin\alpha $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) б) Докажем тождество $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) - \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = 2\text{tg}2x $.
Преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности. Учтем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{4}=1 $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}x}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}x}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} $.
Подставим в исходное выражение:
Левая часть = $ \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} - \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} $.
Приведем к общему знаменателю $ (1 - \text{tg}x)(1 + \text{tg}x) = 1 - \text{tg}^2x $:
$ \frac{(1 + \text{tg}x)^2 - (1 - \text{tg}x)^2}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{(1 + 2\text{tg}x + \text{tg}^2x) - (1 - 2\text{tg}x + \text{tg}^2x)}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{4\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Теперь рассмотрим правую часть. По формуле тангенса двойного угла $ \text{tg}2x = \frac{2\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Правая часть = $ 2\text{tg}2x = 2 \cdot \frac{2\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{4\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) в) Докажем тождество $ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha)}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha)} = \sqrt{3} $.
Выражение в левой части в точности соответствует формуле тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A\text{tg}B} $, где $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} - \alpha $.
Следовательно, левая часть равна $ \text{tg}(\alpha + (\frac{\pi}{3} - \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) $.
Значение $ \text{tg}(\frac{\pi}{3}) $ равно $ \sqrt{3} $.
Таким образом, $ \sqrt{3} = \sqrt{3} $. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) г) Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $.
Раскроем синус суммы в числителе левой части:
Левая часть = $ \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} $.
Разделим дробь на две:
$ \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} $.
Сократим одинаковые множители в каждой дроби:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $.
По определению тангенса $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому выражение равно $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 92 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7 (с. 92), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.