Номер 14, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 14, страница 94.

Условие.

14. 1) Дайте определения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции?

2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79.

3) Найдите точки максимума и точки минимума функции:

а) $y = (x - 3)^2 + 2$;

б) $y = \cos^2 x$;

в) $y = 1 - (x + 2)^2$;

г) $y = \sin^2 x$.

Рис. 79

Решение 5.

1)

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Точка $x_0$ называется точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Точками экстремума функции называют ее точки максимума и точки минимума.

Ответ: Точка максимума — это точка, в которой значение функции является наибольшим в некоторой её окрестности. Точка минимума — это точка, в которой значение функции является наименьшим в некоторой её окрестности. Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции.

2)

Проанализируем графики функций, представленные на рисунке 79.

Для левого графика:

Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$, $x = 3$ и $x = 7$.

Точки, в которых наблюдаются локальные "впадины" (минимумы), имеют абсциссы $x = -1$ и $x = 6$.

Для правого графика:

Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$ и $x = 4$.

Точка, в которой наблюдается локальная "впадина" (минимум), имеет абсциссу $x = 1$.

Ответ: Для функции на левом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 3, x_{max} = 7$; точки минимума $x_{min} = -1, x_{min} = 6$. Для функции на правом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 1$.

3)

а) $y = (x - 3)^2 + 2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадрате скобки равен $1 > 0$. Вершина параболы является точкой минимума. Координаты вершины параболы вида $y = a(x-h)^2+k$ равны $(h; k)$. В данном случае $h=3, k=2$. Следовательно, функция имеет точку минимума при $x=3$. Точек максимума у данной функции нет.

Ответ: точка минимума $x = 3$.

б) $y = \cos^2 x$

Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\cos^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\cos x = \pm 1$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\cos x = 0$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 1 - (x + 2)^2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при скобке в квадрате равен $-1 < 0$. Вершина параболы является точкой максимума. Перепишем уравнение в виде $y = -(x - (-2))^2 + 1$. Координаты вершины $(h; k) = (-2; 1)$. Следовательно, функция имеет точку максимума при $x=-2$. Точек минимума у данной функции нет.

Ответ: точка максимума $x = -2$.

г) $y = \sin^2 x$

Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\sin^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\sin x = \pm 1$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\sin x = 0$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$.