Номер 14, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 14, страница 94.

№14 (с. 94)
Условие. №14 (с. 94)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 94, номер 14, Условие

14. 1) Дайте определения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции?

2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79.

3) Найдите точки максимума и точки минимума функции:

а) $y = (x - 3)^2 + 2$;

б) $y = \cos^2 x$;

в) $y = 1 - (x + 2)^2$;

г) $y = \sin^2 x$.

Рис. 79

Решение 5. №14 (с. 94)

1)

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Точка $x_0$ называется точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Точками экстремума функции называют ее точки максимума и точки минимума.

Ответ: Точка максимума — это точка, в которой значение функции является наибольшим в некоторой её окрестности. Точка минимума — это точка, в которой значение функции является наименьшим в некоторой её окрестности. Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции.

2)

Проанализируем графики функций, представленные на рисунке 79.

Для левого графика:

Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$, $x = 3$ и $x = 7$.

Точки, в которых наблюдаются локальные "впадины" (минимумы), имеют абсциссы $x = -1$ и $x = 6$.

Для правого графика:

Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$ и $x = 4$.

Точка, в которой наблюдается локальная "впадина" (минимум), имеет абсциссу $x = 1$.

Ответ: Для функции на левом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 3, x_{max} = 7$; точки минимума $x_{min} = -1, x_{min} = 6$. Для функции на правом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 1$.

3)

а) $y = (x - 3)^2 + 2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадрате скобки равен $1 > 0$. Вершина параболы является точкой минимума. Координаты вершины параболы вида $y = a(x-h)^2+k$ равны $(h; k)$. В данном случае $h=3, k=2$. Следовательно, функция имеет точку минимума при $x=3$. Точек максимума у данной функции нет.

Ответ: точка минимума $x = 3$.

б) $y = \cos^2 x$

Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\cos^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\cos x = \pm 1$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\cos x = 0$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 1 - (x + 2)^2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при скобке в квадрате равен $-1 < 0$. Вершина параболы является точкой максимума. Перепишем уравнение в виде $y = -(x - (-2))^2 + 1$. Координаты вершины $(h; k) = (-2; 1)$. Следовательно, функция имеет точку максимума при $x=-2$. Точек минимума у данной функции нет.

Ответ: точка максимума $x = -2$.

г) $y = \sin^2 x$

Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\sin^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\sin x = \pm 1$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\sin x = 0$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 94 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14 (с. 94), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.