Номер 14, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 14, страница 94.
№14 (с. 94)
Условие. №14 (с. 94)
скриншот условия

14. 1) Дайте определения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции?
2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79.
3) Найдите точки максимума и точки минимума функции:
а) $y = (x - 3)^2 + 2$;
б) $y = \cos^2 x$;
в) $y = 1 - (x + 2)^2$;
г) $y = \sin^2 x$.
Рис. 79
Решение 5. №14 (с. 94)
1)
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.
Точка $x_0$ называется точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.
Точками экстремума функции называют ее точки максимума и точки минимума.
Ответ: Точка максимума — это точка, в которой значение функции является наибольшим в некоторой её окрестности. Точка минимума — это точка, в которой значение функции является наименьшим в некоторой её окрестности. Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции.
2)
Проанализируем графики функций, представленные на рисунке 79.
Для левого графика:
Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$, $x = 3$ и $x = 7$.
Точки, в которых наблюдаются локальные "впадины" (минимумы), имеют абсциссы $x = -1$ и $x = 6$.
Для правого графика:
Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$ и $x = 4$.
Точка, в которой наблюдается локальная "впадина" (минимум), имеет абсциссу $x = 1$.
Ответ: Для функции на левом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 3, x_{max} = 7$; точки минимума $x_{min} = -1, x_{min} = 6$. Для функции на правом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 1$.
3)
а) $y = (x - 3)^2 + 2$
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадрате скобки равен $1 > 0$. Вершина параболы является точкой минимума. Координаты вершины параболы вида $y = a(x-h)^2+k$ равны $(h; k)$. В данном случае $h=3, k=2$. Следовательно, функция имеет точку минимума при $x=3$. Точек максимума у данной функции нет.
Ответ: точка минимума $x = 3$.
б) $y = \cos^2 x$
Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\cos^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.
Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\cos x = \pm 1$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\cos x = 0$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: точки максимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
в) $y = 1 - (x + 2)^2$
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при скобке в квадрате равен $-1 < 0$. Вершина параболы является точкой максимума. Перепишем уравнение в виде $y = -(x - (-2))^2 + 1$. Координаты вершины $(h; k) = (-2; 1)$. Следовательно, функция имеет точку максимума при $x=-2$. Точек минимума у данной функции нет.
Ответ: точка максимума $x = -2$.
г) $y = \sin^2 x$
Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\sin^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.
Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\sin x = \pm 1$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\sin x = 0$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 94 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14 (с. 94), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.