Страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

11. 1) Что такое числовая функция, ее область определения, область значений?

2) Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{3x+1}{x^2-7x+12}$;

б) $y = \frac{1}{\sin x}$;

в) $y = \sqrt{4-x^2}$;

г) $y = \frac{1}{\cos x}$.

3) Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cos x - 1$;

б) $y = \frac{1}{x^2} + 1$;

в) $y = 2 - \sin x$;

г) $y = 3 - x^4$.

1)

Числовая функция — это правило или закон, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого числового множества $D$ ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$ из множества $E$. Функцию обычно обозначают как $y = f(x)$, где $x$ — аргумент, а $y$ — значение функции.

Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция определена (т.е. можно вычислить соответствующее значение $y$).

Область значений функции (обозначается $E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ для всех значений $x$ из ее области определения.

2) Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{3x+1}{x^2-7x+12}$
Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не обращается в ноль. Найдем значения $x$, которые нужно исключить, решив квадратное уравнение:$x^2-7x+12 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=3$ и $x=4$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sin x}$
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.$\sin x \neq 0$
Функция $\sin x$ равна нулю при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

в) $y = \sqrt{4-x^2}$
Функция определена, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
Это неравенство равносильно $|x| \le 2$, что означает $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $D(y) = [-2; 2]$.

г) $y = \frac{1}{\cos x}$
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.$\cos x \neq 0$
Функция $\cos x$ равна нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

3) Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cos x - 1$
Область значений косинуса — отрезок $[-1; 1]$, то есть:$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части двойного неравенства на 3:$-3 \le 3 \cos x \le 3$
Вычтем 1 из всех частей:$-3 - 1 \le 3 \cos x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le y \le 4$
Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.

б) $y = \frac{1}{x^2} + 1$
Так как $x^2 \ge 0$ и $x \neq 0$ (из-за знаменателя), то $x^2 > 0$.
Тогда его обратная величина $\frac{1}{x^2}$ также всегда положительна: $\frac{1}{x^2} > 0$.
Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получаем:$\frac{1}{x^2} + 1 > 1$
$y > 1$
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

в) $y = 2 - \sin x$
Область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$:$-1 \le \sin x \le 1$
Умножим на -1 (знаки неравенства изменятся на противоположные):$1 \ge -\sin x \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le -\sin x \le 1$.
Прибавим 2 ко всем частям:$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$
$1 \le y \le 3$
Ответ: $E(y) = [1; 3]$.

г) $y = 3 - x^4$
Выражение $x^4$ принимает любые неотрицательные значения, так как степень четная: $x^4 \ge 0$.
Умножим на -1 (знак неравенства изменится на противоположный):$-x^4 \le 0$
Прибавим 3 к обеим частям:$3 - x^4 \le 3$
$y \le 3$
Ответ: $E(y) = (-\infty; 3]$.

12. 1) Что такое график функции?

2) Постройте график функции:

а) $y = \frac{2}{x-1}$; б) $y = 2 - \cos x$; в) $y = \sqrt{x+2}$; г) $y = \sin x - 1$.

3) Найдите точки пересечения графика функции $f$ с осями координат:

а) $f(x) = x^3 - 4x$; б) $f(x) = \frac{1}{x} + 1$;

в) $f(x) = 1 - x^4$; г) $f(x) = \frac{1}{x-3}$.

1) Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$ из области определения функции, а ординаты — соответствующим значениям функции $y$.

2) а) Для построения графика функции $y = \frac{2}{x-1}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола).
1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$.
2. Растягиваем его в 2 раза вдоль оси Оy, получаем график $y = \frac{2}{x}$.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вправо вдоль оси Ох.
В результате получаем гиперболу с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки, например, $(2, 2)$, $(3, 1)$, $(0, -2)$, $(-1, -1)$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y=\frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: $x=1$, $y=0$.

2) б) Для построения графика функции $y = 2 - \cos x$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Строим график $y = \cos x$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси Ох, чтобы получить график $y = -\cos x$.
3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Оу.
В результате получаем косинусоиду, которая колеблется между значениями $y=1$ (минимум) и $y=3$ (максимум). Период функции $2\pi$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 3)$, $(\frac{3\pi}{2}, 2)$, $(2\pi, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой косинусоиду, отраженную относительно оси Ох и смещенную на 2 единицы вверх.

2) в) Для построения графика функции $y = \sqrt{x+2}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
1. Строим график $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно прямой $y=x$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы влево вдоль оси Ох.
Область определения функции: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. График начинается в точке $(-2, 0)$ и идет вправо и вверх, проходя через точки $(-1, 1)$, $(2, 2)$ и т.д.
Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы, полученную сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево.

2) г) Для построения графика функции $y = \sin x - 1$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Строим график $y = \sin x$ (синусоиду).
2. Сдвигаем его на 1 единицу вниз вдоль оси Оу.
В результате получаем синусоиду, которая колеблется между значениями $y=-2$ (минимум) и $y=0$ (максимум). Период функции $2\pi$. Ключевые точки: $(0, -1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, -2)$, $(2\pi, -1)$.
Ответ: График функции представляет собой синусоиду, смещенную на 1 единицу вниз.

3) а) $f(x) = x^3 - 4x$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
$f(0) = 0^3 - 4 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Оу: $(0, 0)$.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
Точки пересечения с осью Ох: $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.
Ответ: с осью Оу: $(0, 0)$; с осью Ох: $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$.

3) б) $f(x) = \frac{1}{x} + 1$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
При $x=0$ функция не определена (деление на ноль). Следовательно, пересечения с осью Оу нет.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$\frac{1}{x} + 1 = 0$
$\frac{1}{x} = -1$
$x = -1$.
Точка пересечения с осью Ох: $(-1, 0)$.
Ответ: с осью Оу: нет; с осью Ох: $(-1, 0)$.

3) в) $f(x) = 1 - x^4$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
$f(0) = 1 - 0^4 = 1$.
Точка пересечения с осью Оу: $(0, 1)$.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$1 - x^4 = 0$
$x^4 = 1$
$x = \pm 1$.
Точки пересечения с осью Ох: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
Ответ: с осью Оу: $(0, 1)$; с осью Ох: $(-1, 0)$, $(1, 0)$.

3) г) $f(x) = \frac{1}{x-3}$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
$f(0) = \frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}$.
Точка пересечения с осью Оу: $(0, -\frac{1}{3})$.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$\frac{1}{x-3} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю, только если числитель равен нулю, а он равен 1. Следовательно, пересечений с осью Ох нет.
Ответ: с осью Оу: $(0, -\frac{1}{3})$; с осью Ох: нет.

13. 1) Сформулируйте определение функции, возрастающей (убывающей) на множестве $P$.

2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79.

3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = 1 + 0,5 \cos x$; б) $y = -\frac{3}{x-1}$;

в) $y = 2x^2 + 4x$; г) $y = 1,5 \sin x - 1$.

1) Сформулируйте определение функции, возрастающей (убывающей) на множестве P.

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на множестве $P$, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из множества $P$, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция $y = f(x)$ называется убывающей на множестве $P$, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из множества $P$, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: Функция $f(x)$ называется возрастающей на множестве $P$, если для любых $x_1, x_2 \in P$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) > f(x_1)$. Функция $f(x)$ называется убывающей на множестве $P$, если для любых $x_1, x_2 \in P$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) < f(x_1)$.

2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79.

В условии задачи не представлен рисунок 79. Общий подход к определению промежутков монотонности по графику функции следующий:
1. Находят интервалы по оси абсцисс ($Ox$), на которых график функции "поднимается" при движении слева направо. На этих интервалах функция возрастает.
2. Находят интервалы по оси абсцисс ($Ox$), на которых график функции "опускается" при движении слева направо. На этих интервалах функция убывает.
Точки, в которых направление движения графика меняется (точки экстремумов), являются границами промежутков возрастания и убывания.

Ответ: Рисунок 79 не предоставлен.

3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

Для нахождения промежутков монотонности функции используется ее производная. Если производная $y' > 0$ на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Если $y' < 0$, то функция убывает. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими и являются границами промежутков монотонности.

а) $y = 1 + 0,5 \cos x$

1. Найдем производную функции:
$y' = (1 + 0,5 \cos x)' = -0,5 \sin x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-0,5 \sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Определим знаки производной на интервалах.
Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-0,5 \sin x > 0$, что равносильно $\sin x < 0$. Это выполняется на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$.
Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $-0,5 \sin x < 0$, что равносильно $\sin x > 0$. Это выполняется на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$.
Включая границы промежутков, получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\frac{3}{x-1}$

1. Область определения функции: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
2. Найдем производную: $y' = \left(-\frac{3}{x-1}\right)' = (-3(x-1)^{-1})' = -3 \cdot (-1)(x-1)^{-2} = \frac{3}{(x-1)^2}$.
3. Определим знак производной. Так как числитель $3 > 0$ и знаменатель $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$ при всех $x \neq 1$.
Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$; промежутков убывания нет.

в) $y = 2x^2 + 4x$

1. Найдем производную функции:
$y' = (2x^2 + 4x)' = 4x + 4$.
2. Найдем критические точки: $y' = 0 \implies 4x + 4 = 0 \implies x = -1$.
3. Определим знаки производной:
При $x > -1$, $y' = 4x+4 > 0$, значит, функция возрастает.
При $x < -1$, $y' = 4x+4 < 0$, значит, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

г) $y = 1,5 \sin x - 1$

1. Найдем производную функции:
$y' = (1,5 \sin x - 1)' = 1,5 \cos x$.
2. Найдем критические точки: $y' = 0 \implies 1,5 \cos x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Определим знаки производной.
Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $1,5 \cos x > 0$, что равносильно $\cos x > 0$. Это выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$.
Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $1,5 \cos x < 0$, что равносильно $\cos x < 0$. Это выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$.
Включая границы промежутков, получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

14. 1) Дайте определения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции?

2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79.

3) Найдите точки максимума и точки минимума функции:

а) $y = (x - 3)^2 + 2$;

б) $y = \cos^2 x$;

в) $y = 1 - (x + 2)^2$;

г) $y = \sin^2 x$.

Рис. 79

1)

Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Точка $x_0$ называется точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$) выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Точками экстремума функции называют ее точки максимума и точки минимума.

Ответ: Точка максимума — это точка, в которой значение функции является наибольшим в некоторой её окрестности. Точка минимума — это точка, в которой значение функции является наименьшим в некоторой её окрестности. Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции.

2)

Проанализируем графики функций, представленные на рисунке 79.

Для левого графика:

Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$, $x = 3$ и $x = 7$.

Точки, в которых наблюдаются локальные "впадины" (минимумы), имеют абсциссы $x = -1$ и $x = 6$.

Для правого графика:

Точки, в которых наблюдаются локальные "вершины" (максимумы), имеют абсциссы $x = -4$ и $x = 4$.

Точка, в которой наблюдается локальная "впадина" (минимум), имеет абсциссу $x = 1$.

Ответ: Для функции на левом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 3, x_{max} = 7$; точки минимума $x_{min} = -1, x_{min} = 6$. Для функции на правом графике: точки максимума $x_{max} = -4, x_{max} = 4$; точка минимума $x_{min} = 1$.

3)

а) $y = (x - 3)^2 + 2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при квадрате скобки равен $1 > 0$. Вершина параболы является точкой минимума. Координаты вершины параболы вида $y = a(x-h)^2+k$ равны $(h; k)$. В данном случае $h=3, k=2$. Следовательно, функция имеет точку минимума при $x=3$. Точек максимума у данной функции нет.

Ответ: точка минимума $x = 3$.

б) $y = \cos^2 x$

Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\cos^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\cos x = \pm 1$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\cos x = 0$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 1 - (x + 2)^2$

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при скобке в квадрате равен $-1 < 0$. Вершина параболы является точкой максимума. Перепишем уравнение в виде $y = -(x - (-2))^2 + 1$. Координаты вершины $(h; k) = (-2; 1)$. Следовательно, функция имеет точку максимума при $x=-2$. Точек минимума у данной функции нет.

Ответ: точка максимума $x = -2$.

г) $y = \sin^2 x$

Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Тогда область значений функции $y=\sin^2 x$ — это отрезок $[0; 1]$.

Максимальное значение, равное 1, достигается, когда $\sin x = \pm 1$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение, равное 0, достигается, когда $\sin x = 0$, что соответствует $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$.