Страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

177.— а) Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и площади, если: 1) меньшую его сторону увеличили на 0,11 м; 2) большую его сторону увеличили на 0,2 м.

б) Радиус круга равен 2 см. Найдите погрешность, допущенную при вычислении его площади, если погрешность при измерении длины радиуса равна: 1) 0,2 см; 2) $\Delta R$; 3) 0,1 см; 4) $h$.

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Изначально $a = 15$ м (меньшая сторона) и $b = 20$ м (большая сторона).
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а площадь — по формуле $S = a \cdot b$.
Изначальные значения:
$P_0 = 2(15 + 20) = 70$ м.
$S_0 = 15 \cdot 20 = 300$ м².
Приращение функции $f(x)$ при изменении аргумента с $x_0$ на $x_0 + \Delta x$ равно $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Меньшую сторону $a$ увеличили на $\Delta a = 0,11$ м. Новая длина меньшей стороны $a_1 = 15 + 0,11 = 15,11$ м. Большая сторона $b$ не изменилась, $b_1 = 20$ м.

Найдем приращение периметра $\Delta P$:
Новый периметр: $P_1 = 2(a_1 + b_1) = 2(15,11 + 20) = 2 \cdot 35,11 = 70,22$ м.
Приращение периметра: $\Delta P = P_1 - P_0 = 70,22 - 70 = 0,22$ м.

Найдем приращение площади $\Delta S$:
Новая площадь: $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 15,11 \cdot 20 = 302,2$ м².
Приращение площади: $\Delta S = S_1 - S_0 = 302,2 - 300 = 2,2$ м².
Ответ: приращение периметра $\Delta P = 0,22$ м, приращение площади $\Delta S = 2,2$ м².

2) Большую сторону $b$ увеличили на $\Delta b = 0,2$ м. Новая длина большей стороны $b_2 = 20 + 0,2 = 20,2$ м. Меньшая сторона $a$ не изменилась, $a_2 = 15$ м.

Найдем приращение периметра $\Delta P$:
Новый периметр: $P_2 = 2(a_2 + b_2) = 2(15 + 20,2) = 2 \cdot 35,2 = 70,4$ м.
Приращение периметра: $\Delta P = P_2 - P_0 = 70,4 - 70 = 0,4$ м.

Найдем приращение площади $\Delta S$:
Новая площадь: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 15 \cdot 20,2 = 303$ м².
Приращение площади: $\Delta S = S_2 - S_0 = 303 - 300 = 3$ м².
Ответ: приращение периметра $\Delta P = 0,4$ м, приращение площади $\Delta S = 3$ м².

б)

Радиус круга $R = 2$ см. Площадь круга вычисляется по формуле $S(R) = \pi R^2$.
Изначальная площадь: $S_0 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².
Погрешность (или приращение) площади $\Delta S$ при погрешности измерения радиуса $\Delta R$ вычисляется как разность между новой и старой площадью:
$\Delta S = S(R + \Delta R) - S(R) = \pi (R + \Delta R)^2 - \pi R^2 = \pi (R^2 + 2R\Delta R + (\Delta R)^2) - \pi R^2 = \pi (2R\Delta R + (\Delta R)^2)$.
Подставим значение $R = 2$ см в эту формулу:
$\Delta S = \pi (2 \cdot 2 \cdot \Delta R + (\Delta R)^2) = \pi (4\Delta R + (\Delta R)^2)$.

1) Погрешность измерения радиуса $\Delta R = 0,2$ см.

Найдем погрешность площади $\Delta S$:
$\Delta S = \pi (4 \cdot 0,2 + (0,2)^2) = \pi (0,8 + 0,04) = 0,84\pi$ см².
Ответ: $0,84\pi$ см².

2) Погрешность измерения радиуса равна $\Delta R$.

Погрешность площади $\Delta S$ выражается через $\Delta R$ общей формулой, выведенной выше для $R=2$:
$\Delta S = \pi (4\Delta R + (\Delta R)^2)$.
Ответ: $\pi (4\Delta R + (\Delta R)^2)$ см².

3) Погрешность измерения радиуса $\Delta R = 0,1$ см.

Найдем погрешность площади $\Delta S$:
$\Delta S = \pi (4 \cdot 0,1 + (0,1)^2) = \pi (0,4 + 0,01) = 0,41\pi$ см².
Ответ: $0,41\pi$ см².

4) Погрешность измерения радиуса равна $h$.

Это аналогично пункту 2), просто обозначим $\Delta R = h$.
$\Delta S = \pi (4h + h^2)$.
Ответ: $\pi (4h + h^2)$ см².

178. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = -\frac{2}{x}$, $x_0 = -2$, $\Delta x = 0,1$;

б) $f(x) = 2x^2 - 3$, $x_0 = 3$, $\Delta x = -0,2$;

в) $f(x) = 3x + 1$, $x_0 = 5$, $\Delta x = 0,01$;

г) $f(x) = \frac{x^2}{2}$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,1$.

Приращение функции $ \Delta f $ в точке $ x_0 $ — это разность между значением функции в точке $ x_0 + \Delta x $ и значением функции в точке $ x_0 $. Оно вычисляется по формуле:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $

Решим каждый подпункт, используя эту формулу.

а) $ f(x) = -\frac{2}{x}, x_0 = -2, \Delta x = 0.1 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = -2 $:

$ f(x_0) = f(-2) = -\frac{2}{-2} = 1 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = -2 + 0.1 = -1.9 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = -1.9 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(-1.9) = -\frac{2}{-1.9} = \frac{2}{1.9} = \frac{20}{19} $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{20}{19} - 1 = \frac{20}{19} - \frac{19}{19} = \frac{1}{19} $

Ответ: $ \frac{1}{19} $.

б) $ f(x) = 2x^2 - 3, x_0 = 3, \Delta x = -0.2 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = 3 $:

$ f(x_0) = f(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = 3 + (-0.2) = 2.8 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = 2.8 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(2.8) = 2 \cdot (2.8)^2 - 3 = 2 \cdot 7.84 - 3 = 15.68 - 3 = 12.68 $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 12.68 - 15 = -2.32 $

Ответ: $ -2.32 $.

в) $ f(x) = 3x + 1, x_0 = 5, \Delta x = 0.01 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = 5 $:

$ f(x_0) = f(5) = 3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = 5 + 0.01 = 5.01 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = 5.01 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(5.01) = 3 \cdot 5.01 + 1 = 15.03 + 1 = 16.03 $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 16.03 - 16 = 0.03 $

Ответ: $ 0.03 $.

г) $ f(x) = \frac{x^2}{2}, x_0 = 2, \Delta x = 0.1 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = 2 $:

$ f(x_0) = f(2) = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = 2 + 0.1 = 2.1 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = 2.1 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(2.1) = \frac{(2.1)^2}{2} = \frac{4.41}{2} = 2.205 $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 2.205 - 2 = 0.205 $

Ответ: $ 0.205 $.

179. Найдите приращения $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = \cos^2 x$, $x_0 = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{3\pi}{4}$;

б) $f(x) = 4x - x^2$, $x_0 = 2,5$, $x = 2,6$;

в) $f(x) = \operatorname{tg} x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sqrt{2x-1}$, $x_0 = 1,22$, $x = 1,345$.

а) Дана функция $f(x) = \cos^2 x$, начальная точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ и конечная точка $x = \frac{3\pi}{4}$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$. Приращение аргумента равно разности между конечным и начальным значениями $x$.

$\Delta x = x - x_0 = \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\Delta x = \frac{3\pi \cdot 3}{12} - \frac{2\pi \cdot 4}{12} = \frac{9\pi - 8\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$. Приращение функции равно разности значений функции в конечной и начальной точках.

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \cos^2(x) - \cos^2(x_0)$

Подставим значения $x$ и $x_0$:

$\Delta f = \cos^2(\frac{3\pi}{4}) - \cos^2(\frac{2\pi}{3})$

Вычислим значения косинусов в этих точках:

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\Delta f$:

$\Delta f = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (-\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$, $\Delta f = \frac{1}{4}$.

б) Дана функция $f(x) = 4x - x^2$, начальная точка $x_0 = 2,5$ и конечная точка $x = 2,6$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$.

$\Delta x = x - x_0 = 2,6 - 2,5 = 0,1$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$.

$\Delta f = f(x) - f(x_0)$

Сначала вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x$:

$f(x_0) = f(2,5) = 4(2,5) - (2,5)^2 = 10 - 6,25 = 3,75$

$f(x) = f(2,6) = 4(2,6) - (2,6)^2 = 10,4 - 6,76 = 3,64$

Теперь найдем разность этих значений:

$\Delta f = 3,64 - 3,75 = -0,11$

Ответ: $\Delta x = 0,1$, $\Delta f = -0,11$.

в) Дана функция $f(x) = \tg x$, начальная точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$ и конечная точка $x = \frac{\pi}{3}$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$.

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\Delta x = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$.

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \tg(x) - \tg(x_0)$

Подставим значения $x$ и $x_0$:

$\Delta f = \tg(\frac{\pi}{3}) - \tg(\frac{\pi}{4})$

Используем известные значения тангенсов:

$\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$

Тогда:

$\Delta f = \sqrt{3} - 1$

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$, $\Delta f = \sqrt{3} - 1$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x-1}$, начальная точка $x_0 = 1,22$ и конечная точка $x = 1,345$.

1. Найдем приращение аргумента $\Delta x$.

$\Delta x = x - x_0 = 1,345 - 1,22 = 0,125$

2. Найдем приращение функции $\Delta f$.

$\Delta f = f(x) - f(x_0)$

Сначала вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x$:

$f(x_0) = f(1,22) = \sqrt{2(1,22) - 1} = \sqrt{2,44 - 1} = \sqrt{1,44} = 1,2$

$f(x) = f(1,345) = \sqrt{2(1,345) - 1} = \sqrt{2,69 - 1} = \sqrt{1,69} = 1,3$

Теперь найдем разность этих значений:

$\Delta f = 1,3 - 1,2 = 0,1$

Ответ: $\Delta x = 0,125$, $\Delta f = 0,1$.