Страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

8. 1) Запишите формулы двойного аргумента.

2) Вычислите:

а) $sin 2\alpha$, если $cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $tg 2\alpha$, если $sin \alpha = \frac{12}{13}$, $cos \alpha < 0$;

в) $cos 2\alpha$, если $sin \alpha = \frac{15}{17}$;

г) $tg 2\alpha$, если $cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} (2 cos^2 \alpha - 1) = sin 2\alpha$;

б) $\frac{1 - cos 2\alpha + sin 2\alpha}{1 + cos 2\alpha + sin 2\alpha} = tg \alpha$;

в) $1 - (cos \alpha - sin \alpha)^2 = sin 2\alpha$;

г) $tg \alpha (1 + cos 2\alpha) = sin 2\alpha$.

1) Запишите формулы двойного аргумента.

Формула синуса двойного угла:
$sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$

Формулы косинуса двойного угла:
$cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$
$cos 2\alpha = 2 cos^2 \alpha - 1$
$cos 2\alpha = 1 - 2 sin^2 \alpha$

Формула тангенса двойного угла:
$tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$

2) Вычислите:

а) Дано: $cos \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
Требуется найти $sin 2\alpha$. Используем формулу $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
Сначала найдем $sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $sin \alpha = \pm\frac{3}{5}$.
Поскольку угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), его синус отрицателен: $sin \alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь можем вычислить $sin 2\alpha$:
$sin 2\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.

б) Дано: $sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $cos \alpha < 0$.
Требуется найти $tg 2\alpha$. Используем формулу $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$.
Сначала найдем $cos \alpha$ и $tg \alpha$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.
Отсюда $cos \alpha = \pm\frac{5}{13}$. По условию $cos \alpha < 0$, значит $cos \alpha = -\frac{5}{13}$.
Теперь найдем $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.
Вычислим $tg 2\alpha$:
$tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{12}{5})}{1 - (-\frac{12}{5})^2} = \frac{-\frac{24}{5}}{1 - \frac{144}{25}} = \frac{-\frac{24}{5}}{\frac{25-144}{25}} = \frac{-\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{119} = \frac{24 \cdot 5}{119} = \frac{120}{119}$.
Ответ: $\frac{120}{119}$.

в) Дано: $sin \alpha = \frac{15}{17}$.
Требуется найти $cos 2\alpha$. Удобно использовать формулу $cos 2\alpha = 1 - 2 sin^2 \alpha$.
$cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{15}{17})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{225}{289} = 1 - \frac{450}{289} = \frac{289 - 450}{289} = -\frac{161}{289}$.
Ответ: $-\frac{161}{289}$.

г) Дано: $cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
Требуется найти $tg 2\alpha$. Используем формулу $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$.
Сначала найдем $sin \alpha$ и $tg \alpha$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $sin \alpha = \pm\frac{4}{5}$.
Поскольку угол $\alpha$ принадлежит четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), его синус отрицателен: $sin \alpha = -\frac{4}{5}$.
Теперь найдем $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3}$.
Вычислим $tg 2\alpha$:
$tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{4}{3})}{1 - (-\frac{4}{3})^2} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{8 \cdot 3}{7} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $\frac{24}{7}$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} (2 cos^2 \alpha - 1) = sin 2\alpha$
Преобразуем левую часть. Используем формулы двойного угла для тангенса и косинуса:
$\frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = tg 2\alpha$
$2 cos^2 \alpha - 1 = cos 2\alpha$
Подставим эти выражения в левую часть:
$tg 2\alpha \cdot cos 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} \cdot cos 2\alpha = sin 2\alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) $\frac{1 - cos 2\alpha + sin 2\alpha}{1 + cos 2\alpha + sin 2\alpha} = tg \alpha$
Преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла:
$1 - cos 2\alpha = 1 - (1 - 2 sin^2 \alpha) = 2 sin^2 \alpha$
$1 + cos 2\alpha = 1 + (2 cos^2 \alpha - 1) = 2 cos^2 \alpha$
$sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$
Подставим в числитель и знаменатель дроби:
$\frac{2 sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha}{2 cos^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha} = \frac{2 sin \alpha (sin \alpha + cos \alpha)}{2 cos \alpha (cos \alpha + sin \alpha)}$.
Сократив на $2(sin \alpha + cos \alpha)$, получим:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) $1 - (cos \alpha - sin \alpha)^2 = sin 2\alpha$
Раскроем скобки в левой части:
$1 - (cos^2 \alpha - 2 sin \alpha cos \alpha + sin^2 \alpha)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$:
$1 - (1 - sin 2\alpha) = 1 - 1 + sin 2\alpha = sin 2\alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) $tg \alpha (1 + cos 2\alpha) = sin 2\alpha$
Преобразуем левую часть. Заменим $tg \alpha$ на $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ и используем формулу $cos 2\alpha = 2 cos^2 \alpha - 1$:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} (1 + (2 cos^2 \alpha - 1)) = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} (2 cos^2 \alpha)$.
Сократив $cos \alpha$, получим:
$sin \alpha \cdot 2 cos \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
По формуле синуса двойного угла $2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

9. 1) Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов).

2) Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:

а) $\cos 117^\circ + \cos 63^\circ$;

б) $\frac{\sin 70^\circ - \sin 10^\circ}{\cos 40^\circ}$;

в) $\cos \frac{19\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$;

г) $\sin 112^\circ + \sin 248^\circ$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha$;

б) $(\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha$;

в) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta}{\cos 2\alpha + \cos 2\beta} = \operatorname{tg} (\alpha + \beta)$;

г) $\sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \sin 6\alpha = 4 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha$.

1) Формулы суммы и разности синусов и косинусов:

Сумма синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

Разность синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $

Сумма косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

Разность косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

2) Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:

а) Для вычисления $ \cos 117^\circ + \cos 63^\circ $ используем формулу суммы косинусов:
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $
$ \cos 117^\circ + \cos 63^\circ = 2 \cos \frac{117^\circ + 63^\circ}{2} \cos \frac{117^\circ - 63^\circ}{2} = 2 \cos \frac{180^\circ}{2} \cos \frac{54^\circ}{2} = 2 \cos 90^\circ \cos 27^\circ $
Так как $ \cos 90^\circ = 0 $, то все выражение равно нулю.
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos 27^\circ = 0 $
Ответ: 0

б) Для вычисления $ \frac{\sin 70^\circ - \sin 10^\circ}{\cos 40^\circ} $ преобразуем числитель по формуле разности синусов:
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $
$ \sin 70^\circ - \sin 10^\circ = 2 \sin \frac{70^\circ - 10^\circ}{2} \cos \frac{70^\circ + 10^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 40^\circ $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin 30^\circ \cos 40^\circ}{\cos 40^\circ} $
Сокращаем $ \cos 40^\circ $ и получаем:
$ 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $
Ответ: 1

в) Для вычисления $ \cos \frac{19\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} $ используем формулу разности косинусов:
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $
$ \cos \frac{19\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \frac{\frac{19\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{19\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{18\pi}{12}}{2} $
$ = -2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin \frac{3\pi}{4} $
Знаем, что $ \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

г) Для вычисления $ \sin 112^\circ + \sin 248^\circ $ используем формулу суммы синусов:
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $
$ \sin 112^\circ + \sin 248^\circ = 2 \sin \frac{112^\circ + 248^\circ}{2} \cos \frac{112^\circ - 248^\circ}{2} = 2 \sin \frac{360^\circ}{2} \cos \frac{-136^\circ}{2} = 2 \sin 180^\circ \cos(-68^\circ) $
Так как $ \sin 180^\circ = 0 $, то все выражение равно нулю.
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos(-68^\circ) = 0 $
Ответ: 0

3) Докажите тождество:

а) $ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha $
Преобразуем левую часть. Применим формулы суммы синусов и косинусов:
Числитель: $ \sin \alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha $
Знаменатель: $ \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $
Подставляем в дробь: $ \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg } 2\alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) $ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha $
Заданное тождество неверно. Проверим его, подставив $ \alpha = \frac{\pi}{4} $:
Левая часть: $ (\sin \frac{\pi}{2} + \sin \pi)^2 - (\cos \frac{\pi}{2} + \cos \pi)^2 = (1 + 0)^2 - (0 - 1)^2 = 1^2 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 $
Правая часть: $ 4 \cos^2 \frac{\pi}{4} = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2 $
$ 0 \neq 2 $, следовательно, тождество неверно.
Вероятно, в условии опечатка, и между квадратами должен быть знак "+". Докажем исправленное тождество:
$ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 + (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha $
Преобразуем выражения в скобках:
$ \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 3\alpha \cos \alpha $
Подставляем в левую часть:
$ (2 \sin 3\alpha \cos \alpha)^2 + (2 \cos 3\alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 3\alpha \cos^2 \alpha $
$ = 4 \cos^2 \alpha (\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:
$ = 4 \cos^2 \alpha \cdot 1 = 4 \cos^2 \alpha $
Левая часть равна правой, исправленное тождество доказано.
Ответ: Исходное тождество неверно. Доказано исправленное тождество $ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 + (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha $.

в) $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta}{\cos 2\alpha + \cos 2\beta} = \text{tg} (\alpha + \beta) $
Преобразуем левую часть. Применим формулы суммы синусов и косинусов:
Числитель: $ \sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $
Знаменатель: $ \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $
Подставляем в дробь: $ \frac{2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) $ \sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \sin 6\alpha = 4 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha $
Преобразуем левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые:
$ (\sin 2\alpha + \sin 6\alpha) + \sin 4\alpha $
Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках:
$ \sin 2\alpha + \sin 6\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha + 6\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 6\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos(-2\alpha) = 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha $
Подставим обратно: $ 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha + \sin 4\alpha $
Вынесем общий множитель $ \sin 4\alpha $:
$ \sin 4\alpha (2 \cos 2\alpha + 1) $
Это не приводит к результату. Попробуем другую группировку: $ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) + \sin 6\alpha $
$ \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha+4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos \alpha $
Выражение принимает вид: $ 2 \sin 3\alpha \cos \alpha + \sin 6\alpha $
Применим формулу двойного угла для $ \sin 6\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha $
$ 2 \sin 3\alpha \cos \alpha + 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha $
Вынесем общий множитель $ 2 \sin 3\alpha $:
$ 2 \sin 3\alpha (\cos \alpha + \cos 3\alpha) $
Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:
$ \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $
Подставляем обратно: $ 2 \sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha \cos \alpha) = 4 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

10. 1) Запишите формулы половинного аргумента.

2) Найдите:

a) $ \cos \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

б) $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = -\frac{2}{3} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

в) $ \sin \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = -\frac{3}{7} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

г) $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = \frac{2}{5} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

3) Упростите выражение:

a) $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha $;

б) $ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $;

в) $ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

г) $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

1)

Формулы половинного аргумента выражают тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2}$ через тригонометрические функции угла $\alpha$.

Основные формулы:

• Синус половинного угла: $ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $
• Косинус половинного угла: $ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $
• Тангенс половинного угла: $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} $

Знак (плюс или минус) в этих формулах определяется тем, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Также существуют формулы для тангенса и котангенса половинного угла, не содержащие квадратных корней, которые часто более удобны в вычислениях:

• $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $
• $ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} $

2)

а)

Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Найти $\cos \frac{\alpha}{2}$.

1. Используем формулу косинуса половинного угла: $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$.

2. Определим знак. По условию $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти промежуток для $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Этот угол находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, мы выбираем знак "минус".

3. Вычисляем значение:

$ \cos \frac{\alpha}{2} = - \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = - \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{3}}{2}} = - \sqrt{\frac{\frac{4}{3}}{2}} = - \sqrt{\frac{4}{6}} = - \sqrt{\frac{2}{3}} = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ - \frac{\sqrt{6}}{3} $.

б)

Дано: $\sin \alpha = -\frac{2}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найти $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$.

1. Для нахождения тангенса половинного угла воспользуемся формулой $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$. Для этого сначала нужно найти $\cos \alpha$.

2. Угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где косинус отрицателен. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.

Так как косинус в III четверти отрицателен, $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.

3. Теперь вычисляем $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$:

$ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{3})}{-\frac{2}{3}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{3+\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3+\sqrt{5}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3+\sqrt{5}}{2} $.

в)

Дано: $\sin \alpha = -\frac{3}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найти $\sin \frac{\alpha}{2}$.

1. Используем формулу синуса половинного угла: $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$. Сначала найдем $\cos \alpha$.

2. Угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где косинус отрицателен.

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49} $.

Следовательно, $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{40}{49}} = -\frac{\sqrt{40}}{7} = -\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

3. Определим знак для $\sin \frac{\alpha}{2}$. Из $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ следует, что $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Этот угол находится во второй четверти, где синус положителен. Выбираем знак "плюс".

4. Вычисляем значение:

$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{2\sqrt{10}}{7})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{2\sqrt{10}}{7}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7+2\sqrt{10}}{7}}{2}} = \sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}} $.

Ответ: $ \sqrt{\frac{7+2\sqrt{10}}{14}} $.

г)

Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Найти $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

1. Используем формулу $\text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$. Для этого найдем $\sin \alpha$.

2. Угол $\alpha$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), где синус отрицателен.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} $.

Следовательно, $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

3. Вычисляем $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$:

$ \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{7}{\sqrt{21}} = -\frac{7\sqrt{21}}{21} = -\frac{\sqrt{21}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{21}}{3} $.

3)

а)

Упростим выражение $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha $.

1. Заметим, что дробь $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ является одной из формул для тангенса половинного угла: $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \text{tg} \frac{\alpha}{2}$.

2. Подставим это в выражение:

$ \text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha $.

3. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = 1$.

4. Выражение принимает вид $1 - \sin^2 \alpha$.

5. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Ответ: $ \cos^2 \alpha $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

1. Упростим первую дробь, используя формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$:

$ \frac{\sin 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha $.

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ \text{ctg}\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

3. Заменим $\text{ctg}\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и перемножим дроби:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.

Дальнейшее существенное упрощение этого выражения стандартными методами невозможно.

Ответ: $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.

в)

Упростим выражение $ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $.

Это одна из стандартных формул для тангенса половинного угла. Покажем ее вывод:

$ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2})}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

г)

Упростим выражение $ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

Это также является стандартной формулой для тангенса половинного угла. Вывод:

$ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{1 + (2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1)} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $.