Страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

20. 1) Перечислите основные свойства функции тангенс.

2) Пользуясь свойствами функции тангенс, расположите в порядке возрастания числа:

а) tg (-0,4), tg 1,2, tg 0,8;

б) tg 2,8, tg 3,9, tg 1,6;

в) tg 0,6, tg (-1,3), tg (-0,7);

г) tg 4,3, tg 1,7, tg 2,5.

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = -\text{tg } x$;

б) $y = \text{tg } \frac{x}{2}$;

в) $y = 2 \text{ tg } x$;

г) $y = \text{tg } \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Основные свойства функции $y = \tg x$:

• Область определения: Множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Записывается как $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
• Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Записывается как $E(y) = \mathbb{R}$.
• Периодичность: Функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$. То есть, $\tg(x + \pi) = \tg x$ для любого $x$ из области определения.
• Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\tg(-x) = -\tg x$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Функция обращается в ноль при тех значениях аргумента, при которых синус равен нулю. Это точки вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (I и III координатные четверти).
  • $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (II и IV координатные четверти).
• Монотонность: Функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: График функции имеет вертикальные асимптоты. Это прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Основные свойства функции тангенс, включая область определения, область значений, периодичность, четность, нули, знакопостоянство, монотонность и асимптоты, перечислены выше.

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойством монотонности функции тангенса. Функция $y=\tg x$ возрастает на каждом интервале вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

Аргументы $-0,4$, $1,2$ и $0,8$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$, на котором функция $\tg x$ возрастает. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,4 < 0,8 < 1,2$. Следовательно, значения тангенсов также располагаются в порядке возрастания.

Ответ: $\tg(-0,4), \tg(0,8), \tg(1,2)$.

Аргументы $2,8$, $3,9$, $1,6$. Рассмотрим интервал возрастания $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \approx (1,57; 4,71)$. Все три аргумента $1,6$, $2,8$ и $3,9$ принадлежат этому интервалу. Так как на этом интервале функция $\tg x$ возрастает, а $1,6 < 2,8 < 3,9$, то и значения тангенсов будут в том же порядке.

Ответ: $\tg(1,6), \tg(2,8), \tg(3,9)$.

Аргументы $0,6$, $-1,3$, $-0,7$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$, на котором функция $\tg x$ возрастает. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-1,3 < -0,7 < 0,6$. Значит, значения тангенсов также располагаются в этом порядке.

Ответ: $\tg(-1,3), \tg(-0,7), \tg(0,6)$.

Аргументы $4,3$, $1,7$, $2,5$. Все три аргумента принадлежат интервалу возрастания $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \approx (1,57; 4,71)$. Поскольку $1,7 < 2,5 < 4,3$, и на этом интервале функция $\tg x$ возрастает, то значения тангенсов располагаются в том же порядке. Для проверки: $1,7$ и $2,5$ лежат в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, где тангенс отрицателен, а $4,3$ лежит в интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, где тангенс положителен, поэтому $\tg(4,3)$ — наибольшее число. Так как $1,7 < 2,5$, то $\tg(1,7) < \tg(2,5)$.

Ответ: $\tg(1,7), \tg(2,5), \tg(4,3)$.

Исследование функции:

• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T=\pi$.
• Четность: нечетная, так как $y(-x) = -\tg(-x) = \tg x = -(-\tg x) = -y(x)$.
• Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция убывает на каждом интервале определения.

Построение графика: График функции $y = -\tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Каждая возрастающая ветвь тангенса превращается в убывающую.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

Исследование функции:

• Область определения: $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Четность: нечетная, $y(-x) = \tg(-\frac{x}{2}) = -\tg \frac{x}{2} = -y(x)$.
• Нули функции: $\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$.

Построение графика: График функции $y = \tg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период увеличивается до $2\pi$, асимптоты находятся в точках $x = \pm \pi, \pm 3\pi, \ldots$.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

Исследование функции:

• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T=\pi$.
• Четность: нечетная, $y(-x) = 2\tg(-x) = -2\tg x = -y(x)$.
• Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения.

Построение графика: График функции $y = 2 \tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. График становится "круче", то есть растет быстрее. Нули и асимптоты не изменяются.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

Исследование функции:

• Область определения: $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T=\pi$.
• Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
• Нули функции: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$.

Построение графика: График функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \tg x$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Центры симметрии ветвей теперь находятся в точках $(\frac{\pi}{4} + \pi k, 0)$, а асимптоты сместились в $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

21. 1) Сформулируйте теорему о корне.

2) Сформулируйте определение арксинуса числа. Для каких чисел определен арксинус?

3) Найдите значение выражения:

а) arcsin (-1) + arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) arcsin $\frac{1}{2}$ + arcsin $(-\frac{\sqrt{3}}{2})$;

в) arcsin $\frac{\sqrt{2}}{2}$ - arcsin 1;

г) arcsin 0 - arcsin $(-\frac{1}{2})$.

1) Теорема о корне, являющаяся следствием из теоремы Безу, формулируется следующим образом: число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда этот многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x-a)$ без остатка. Это означает, что равенство $P(a)=0$ эквивалентно тому, что многочлен $P(x)$ может быть представлен в виде произведения $P(x) = (x-a)Q(x)$, где $Q(x)$ — некоторый другой многочлен.

Ответ: Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка.

2) Арксинусом числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) называется такое число (угол) $\alpha$, которое принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и синус которого равен $a$.

Таким образом, равенство $\alpha = \arcsin a$ является верным, если одновременно выполняются два условия:

1. $\sin \alpha = a$

2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Функция арксинус является обратной к функции синус на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то область определения арксинуса также является отрезком $[-1; 1]$. Арксинус определен для чисел $a$, удовлетворяющих условию $|a| \le 1$.

Ответ: Арксинусом числа $a$ называется угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Арксинус определен для всех чисел $a$ из отрезка $[-1; 1]$.

3)

а) $\arcsin(-1) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значения каждого слагаемого по отдельности:

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и угол $-\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь выполним сложение: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

б) $\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем значения каждого слагаемого. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним сложение: $\frac{\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

в) $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin 1$

Найдем значения уменьшаемого и вычитаемого:

$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

г) $\arcsin 0 - \arcsin(-\frac{1}{2})$

Найдем значения уменьшаемого и вычитаемого. Используем свойство нечетности арксинуса.

$\arcsin 0 = 0$, так как $\sin(0) = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin\frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь выполним вычитание: $0 - (-\frac{\pi}{6}) = 0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

22. 1) Сформулируйте определения арккосинуса и арктангенса числа. Для каких чисел они определены?

2) Найдите значение выражения:

а) $arccos (-1) + arctg \sqrt{3}$;

б) $arccos \frac{1}{2} + arcsin \frac{1}{2}$;

в) $arctg (-1) - arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $arccos 0 + arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1)

Арккосинус числа a (обозначается $ \arccos a $) — это такое число (угол) $ \alpha $ из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. То есть, $ \arccos a = \alpha $, если $ \cos \alpha = a $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.
Функция арккосинус определена для чисел $ a $, принадлежащих отрезку $ [-1; 1] $, так как область значений функции косинус — это отрезок $ [-1; 1] $.

Арктангенс числа a (обозначается $ \operatorname{arctg} a $) — это такое число (угол) $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ a $. То есть, $ \operatorname{arctg} a = \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha = a $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Функция арктангенс определена для любых действительных чисел $ a $, то есть для $ a \in (-\infty; +\infty) $.

2)

а) $ \arccos(-1) + \operatorname{arctg} \sqrt{3} $
Найдем значение каждого слагаемого по отдельности.
$ \arccos(-1) $ — это угол из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен -1. Этим углом является $ \pi $. Итак, $ \arccos(-1) = \pi $.
$ \operatorname{arctg} \sqrt{3} $ — это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \sqrt{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $. Итак, $ \operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $.
Сложим полученные значения:
$ \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{3} $.

б) $ \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} $
Воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ для любого $ x \in [-1; 1] $.
В данном случае $ x = \frac{1}{2} $, что удовлетворяет условию $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $.
Следовательно, $ \arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $.
(Альтернативное решение: $ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $ и $ \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} $. Тогда $ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.)
Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

в) $ \operatorname{arctg}(-1) - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $
Найдем значение каждого члена выражения.
$ \operatorname{arctg}(-1) $ — это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен -1. Этим углом является $ -\frac{\pi}{4} $. Итак, $ \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $.
$ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $ — это угол из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{6} $. Итак, $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $.
Вычтем второе значение из первого:
$ -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} $.
Ответ: $ -\frac{5\pi}{12} $.

г) $ \arccos 0 + \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} $
Найдем значение каждого слагаемого.
$ \arccos 0 $ — это угол из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен 0. Этим углом является $ \frac{\pi}{2} $. Итак, $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $.
$ \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} $ (или $ \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} $) — это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{6} $. Итак, $ \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6} $.
Сложим полученные значения:
$ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.

23. 1) Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$.

2) Решите уравнение:

а) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$;

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$;

в) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$;

г) $2 \cos x - 1 = 0$.

1) Общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:
Для уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, общее решение:
$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Для уравнения $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, общее решение:
$x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Для уравнения $\operatorname{tg} x = a$, где $a \in \mathbb{R}$, общее решение:
$x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) Решение уравнений:

а) $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$
Сначала выразим $\cos x$:
$2 \cos x = -\sqrt{3}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь используем общую формулу для косинуса $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арккосинуса для отрицательного аргумента вычисляется по формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$
Выразим $\operatorname{tg} x$:
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1$
$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Используем общую формулу для тангенса $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арктангенса для отрицательного аргумента вычисляется по формуле $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
$\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \sin x - \sqrt{2} = 0$
Выразим $\sin x$:
$2 \sin x = \sqrt{2}$
$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Используем общую формулу для синуса $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арксинуса $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \cos x - 1 = 0$
Выразим $\cos x$:
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Используем общую формулу для косинуса $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Значение арккосинуса $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем найденное значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

24. Решите уравнение:

1) а) $2 \sin^2 x + 3 \sin x = 2$;

в) $2 \cos^2 x - 5 \cos x = 3$;

б) $\operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 3 = 0$;

г) $2 \sin^2 x + \sin x = 0$.

2) а) $6 \sin^2 x - 2 \sin 2x = 1$;

в) $4 \sin x \cos x = \sqrt{3}$;

б) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\cos^4 x - \sin^4 x = 1$.

1) а) $2 \sin^2 x + 3 \sin x = 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Выполним обратную замену: $\sin x = \frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

1) б) $\tg^2 x - 4 \tg x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tg x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \tg x$.
Получаем уравнение: $t^2 - 4t + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) $\tg x = 1$.
$x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg x = 3$.
$x = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = \arctan(3) + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

1) в) $2 \cos^2 x - 5 \cos x = 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2 \cos^2 x - 5 \cos x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 5t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
$t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит.
Выполним обратную замену: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

1) г) $2 \sin^2 x + \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2 \sin x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sin x = 0$.
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin x + 1 = 0$.
$2 \sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) а) $6 \sin^2 x - 2 \sin 2x = 1$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.
$6 \sin^2 x - 2(2 \sin x \cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x$
$6 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$
$5 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (предполагая, что $\cos x \neq 0$; если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и уравнение $5(\pm 1)^2 = 0$ неверно).
$5 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$5 \tg^2 x - 4 \tg x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tg x$: $5t^2 - 4t - 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
$t = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{4 \pm 6}{10}$.
$t_1 = \frac{4+6}{10} = 1$, $t_2 = \frac{4-6}{10} = -\frac{1}{5}$.
Обратная замена:
1) $\tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tg x = -\frac{1}{5} \implies x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) б) $\sin^2 x - \cos^2 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Уравнение можно переписать в виде:
$-(\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$-\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Разделим на 2:
$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) в) $4 \sin x \cos x = \sqrt{3}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
$2 \cdot (2 \sin x \cos x) = \sqrt{3}$
$2 \sin 2x = \sqrt{3}$
$\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$
Разделим на 2:
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) г) $\cos^4 x - \sin^4 x = 1$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = 1$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.
$(\cos 2x) \cdot 1 = 1$
$\cos 2x = 1$
Это частный случай, решение которого:
$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим на 2:
$x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

25. Решите неравенство (предварительно укажите на единичной окружности множество точек $P_x$, таких, что $x$ удовлетворяет данному неравенству):

1)

a) $ \sin x > \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $ 2 \cos x + 1 < 0;$

в) $ \operatorname{tg} x < \sqrt{3};$

2)

a) $ \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{4};$

б) $ \left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{2};$

в) $ 2 \sin^2 \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2};$

г) $ \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

1) а) Решим неравенство $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
На единичной окружности значениям $x$, удовлетворяющим данному неравенству, соответствуют точки $P_x$, ординаты которых (значения синуса) больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную выше горизонтальной прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Концевыми точками этой дуги (не входящими в решение) являются точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, учитывая периодичность функции синус ($2\pi$), общее решение неравенства:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

1) б) Решим неравенство $2 \cos x + 1 < 0$.
Преобразуем неравенство: $2 \cos x < -1 \implies \cos x < -\frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки $P_x$, абсциссы которых (значения косинуса) меньше $-\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную левее вертикальной прямой $x = -\frac{1}{2}$. Концевыми точками этой дуги (не входящими в решение) являются точки, соответствующие углам $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$.
Таким образом, учитывая периодичность функции косинус ($2\pi$), общее решение неравенства:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

1) в) Решим неравенство $\tan x < \sqrt{3}$.
Функция тангенс не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Найдём углы, для которых $\tan x = \sqrt{3}$, это $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
На единичной окружности решениям соответствуют точки $P_x$, для которых угол, образованный радиус-вектором $OP_x$ с положительным направлением оси Ох, находится в промежутке от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{3}$.
Учитывая периодичность функции тангенс ($\pi$), общее решение неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) а) Решим неравенство $\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{4}$.
Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. Умножим обе части неравенства на 2:
$2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} > -\frac{1}{2} \implies \sin x > -\frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки $P_x$, ординаты которых больше $-\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Концевые точки дуги: $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$.
Общее решение:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) б) Решим неравенство $(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \le \frac{1}{2}$.
Раскроем квадрат разности: $\sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} \le \frac{1}{2}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:
$1 - \sin x \le \frac{1}{2} \implies -\sin x \le -\frac{1}{2} \implies \sin x \ge \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки $P_x$, ординаты которых больше или равны $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную выше прямой $y = \frac{1}{2}$, включая концы. Концевые точки дуги: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
Общее решение:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) в) Решим неравенство $2 \sin^2 \frac{x}{2} \le \frac{1}{2}$.
Используем формулу понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$.
$1 - \cos x \le \frac{1}{2} \implies -\cos x \le -\frac{1}{2} \implies \cos x \ge \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки $P_x$, абсциссы которых больше или равны $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную правее прямой $x = \frac{1}{2}$, включая концы. Концевые точки дуги: $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.
Общее решение:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) г) Решим неравенство $\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.
$\cos x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки $P_x$, абсциссы которых больше или равны $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, включая концы. Концевые точки дуги: $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
Общее решение:
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.