Страница 92 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

6. 1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

a) $\sin\left(-\frac{13\pi}{8}\right)$;

б) $\text{ctg}\frac{21\pi}{13}$;

в) $\text{tg}\left(-\frac{14\pi}{3}\right)$;

г) $\cos\frac{8\pi}{3}$.

3) Упростите выражение:

a) $\sin\frac{7\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \text{tg}\frac{7\pi}{4}$;

б) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)\text{tg}(-\alpha)}{\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}$;

в) $\text{ctg}\frac{9\pi}{4} + \sin\frac{37\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12}$;

г) $\frac{\sin(\alpha - \pi)\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{ctg}(\alpha - \pi)}$.

1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.

Мнемоническое правило для формул приведения состоит из двух шагов:

Шаг 1: Определение названия функции.
Нужно посмотреть на угол, который прибавляется или вычитается.

• Если это угол "горизонтальной" оси ($\pi$, $2\pi$, $3\pi$, ...), то название функции не меняется (как бы "качаем головой - нет").
• Если это угол "вертикальной" оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, ...), то название функции меняется на кофункцию: $\sin$ на $\cos$, $\cos$ на $\sin$, $\tg$ на $\ctg$, $\ctg$ на $\tg$ (как бы "киваем головой - да").

Шаг 2: Определение знака.
Знак перед новой функцией определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится первоначальный угол. При этом угол $\alpha$ условно считается острым ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).

Примеры формул приведения:

• $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$:
  1. Угол $\frac{\pi}{2}$ (вертикальный) $\implies$ функция меняется на $\cos\alpha$.
  2. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти, где исходная функция ($\sin$) положительна.
  Результат: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$.
• $\cos(\pi - \alpha)$:
  1. Угол $\pi$ (горизонтальный) $\implies$ функция не меняется, остается $\cos\alpha$.
  2. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, где исходная функция ($\cos$) отрицательна.
  Результат: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$.
• $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$:
  1. Угол $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальный) $\implies$ функция меняется на $\ctg\alpha$.
  2. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где исходная функция ($\tg$) отрицательна.
  Результат: $\tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\ctg\alpha$.

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента:

а) $\sin(-\frac{13\pi}{8})$

Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{13\pi}{8}) = -\sin(\frac{13\pi}{8})$.
Представим аргумент в виде, удобном для формулы приведения:
$\frac{13\pi}{8} = \frac{16\pi - 3\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8}$.
$-\sin(\frac{13\pi}{8}) = -\sin(2\pi - \frac{3\pi}{8})$.
Угол $(2\pi - \frac{3\pi}{8})$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, функция не меняется. $-\sin(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = -(-\sin\frac{3\pi}{8}) = \sin\frac{3\pi}{8}$.
Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ является наименьшим положительным ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$).
Ответ: $\sin\frac{3\pi}{8}$.

б) $\ctg\frac{21\pi}{13}$

Период котангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{21\pi}{13} = \frac{13\pi + 8\pi}{13} = \pi + \frac{8\pi}{13}$.
$\ctg(\frac{21\pi}{13}) = \ctg(\pi + \frac{8\pi}{13})$.
Угол $(\pi + \frac{8\pi}{13})$ находится в III четверти, где котангенс положителен, функция не меняется. $\ctg(\pi + \frac{8\pi}{13}) = \ctg\frac{8\pi}{13}$.
Аргумент $\frac{8\pi}{13}$ больше $\frac{\pi}{2}$, поэтому приведем его к аргументу из I четверти: $\frac{8\pi}{13} = \pi - \frac{5\pi}{13}$.
$\ctg\frac{8\pi}{13} = \ctg(\pi - \frac{5\pi}{13})$.
Угол $(\pi - \frac{5\pi}{13})$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен, функция не меняется. $\ctg(\pi - \frac{5\pi}{13}) = -\ctg\frac{5\pi}{13}$.
Ответ: $-\ctg\frac{5\pi}{13}$.

в) $\tg(-\frac{14\pi}{3})$

Используем свойство нечетности тангенса: $\tg(-x) = -\tg(x)$.
$\tg(-\frac{14\pi}{3}) = -\tg(\frac{14\pi}{3})$.
Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{14\pi}{3} = \frac{12\pi + 2\pi}{3} = 4\pi + \frac{2\pi}{3}$.
$-\tg(\frac{14\pi}{3}) = -\tg(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = -\tg\frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$-\tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\tg\frac{\pi}{3}) = \tg\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\tg\frac{\pi}{3}$.

г) $\cos\frac{8\pi}{3}$

Период косинуса равен $2\pi$. Выделим целое число периодов:
$\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$.
$\cos(\frac{8\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \cos\frac{2\pi}{3}$.
Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\cos\frac{\pi}{3}$.

3) Упростите выражение:

а) $\sin\frac{7\pi}{8} + \cos\frac{5\pi}{8} + \tg\frac{7\pi}{4}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы приведения:
$\sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8}$.
$\cos\frac{5\pi}{8} = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = -\sin\frac{\pi}{8}$.
$\tg\frac{7\pi}{4} = \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg\frac{\pi}{4} = -1$.
Подставляем упрощенные значения в исходное выражение:
$\sin\frac{\pi}{8} + (-\sin\frac{\pi}{8}) + (-1) = \sin\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8} - 1 = -1$.
Ответ: $-1$.

б) $\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tg(-\alpha)}{\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2})\ctg(\frac{3\pi}{2}+\alpha)\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})}$

Упростим числитель:
$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$
$\cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha$
$\tg(-\alpha) = -\tg\alpha$
Числитель: $(\sin\alpha)(-\cos\alpha)(-\tg\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin^2\alpha$.
Упростим знаменатель:
$\sin(\alpha-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2}-\alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -(-\cos\alpha) = \cos\alpha$
$\ctg(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\tg\alpha$
$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) = -\sin\alpha$
Знаменатель: $(\cos\alpha)(-\tg\alpha)(-\sin\alpha) = \cos\alpha\tg\alpha\sin\alpha = \cos\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha = \sin^2\alpha$.
Дробь: $\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

в) $\ctg\frac{9\pi}{4} + \sin\frac{37\pi}{12} - \cos\frac{7\pi}{12}$

Упростим каждое слагаемое:
$\ctg\frac{9\pi}{4} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1$.
$\sin\frac{37\pi}{12} = \sin(3\pi + \frac{\pi}{12}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{12}) = -\sin\frac{\pi}{12}$.
$\cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{6\pi+\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}) = -\sin\frac{\pi}{12}$.
Подставляем значения в выражение:
$1 + (-\sin\frac{\pi}{12}) - (-\sin\frac{\pi}{12}) = 1 - \sin\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12} = 1$.
Ответ: $1$.

г) $\frac{\sin(\alpha-\pi)\tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)\ctg(\alpha-\pi)}$

Упростим числитель:
$\sin(\alpha-\pi) = \sin(-(\pi-\alpha)) = -\sin(\pi-\alpha) = -\sin\alpha$
$\tg(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\ctg\alpha$
Числитель: $(-\sin\alpha)(-\ctg\alpha) = \sin\alpha\ctg\alpha = \sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Упростим знаменатель:
$\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = \sin\alpha$
$\ctg(\alpha-\pi) = \ctg(-(\pi-\alpha)) = -\ctg(\pi-\alpha) = -(-\ctg\alpha) = \ctg\alpha$
Знаменатель: $(\sin\alpha)(\ctg\alpha) = \sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Дробь: $\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

7. 1) Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (разности).

2) Найдите значение выражения:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$, если $\sin\alpha=\frac{2}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos\frac{\pi}{12}$ и $\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}$;

в) $\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$, если $\cos\alpha=-\frac{1}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

3) Докажите тождество:

а) $\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin\alpha$;

б) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\operatorname{tg}2x$;

в) $\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}=\sqrt{3}$;

г) $\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta$.

1) Формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов:

• Синус суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $
• Синус разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $
• Косинус суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $
• Косинус разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $
• Тангенс суммы: $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $
• Тангенс разности: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $

2) a) Для нахождения значения выражения $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) $ используем формулу синуса суммы: $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.
Подставим наши значения: $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{6} \cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6} \sin\alpha $.
Известны табличные значения: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
По условию $ \sin\alpha = \frac{2}{3} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ (первая четверть). Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $.
Так как угол $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Теперь подставим все значения в формулу:
$ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6} + \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{6} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{6} $.

2) б) Для нахождения $ \cos\frac{\pi}{12} $ и $ \text{tg}\frac{\pi}{12} $, представим угол $ \frac{\pi}{12} $ в виде разности известных углов, например, $ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} $.
Найдем косинус, используя формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} $.
Подставим табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.
$ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
Теперь найдем тангенс, используя формулу тангенса разности: $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}x - \text{tg}y}{1 + \text{tg}x\text{tg}y} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{12} = \text{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}\frac{\pi}{6}}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\frac{\pi}{6}} $.
Подставим табличные значения: $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, $ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \text{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} $.
Ответ: $ \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $, $ \text{tg}\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3} $.

2) в) Для нахождения $ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ используем формулу косинуса разности: $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.
$ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha $.
Известны табличные значения: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
По условию $ \cos\alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $ (вторая четверть). Найдем $ \sin\alpha $ из тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.
Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Подставим все значения в формулу:
$ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}-1}{6} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{6}-1}{6} $.

3) а) Докажем тождество $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) + \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\sin\alpha $.
Раскроем синус суммы и синус разности в левой части выражения:
Левая часть = $ (\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) + (\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}) $.
Приведем подобные слагаемые: $ \cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $ и $ -\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6} $ взаимно уничтожаются.
Остается $ 2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6} $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем $ 2\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin\alpha $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) б) Докажем тождество $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) - \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = 2\text{tg}2x $.
Преобразуем левую часть, используя формулы тангенса суммы и разности. Учтем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{4}=1 $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}x}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}x}{1 + \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} $.
Подставим в исходное выражение:
Левая часть = $ \frac{1 + \text{tg}x}{1 - \text{tg}x} - \frac{1 - \text{tg}x}{1 + \text{tg}x} $.
Приведем к общему знаменателю $ (1 - \text{tg}x)(1 + \text{tg}x) = 1 - \text{tg}^2x $:
$ \frac{(1 + \text{tg}x)^2 - (1 - \text{tg}x)^2}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{(1 + 2\text{tg}x + \text{tg}^2x) - (1 - 2\text{tg}x + \text{tg}^2x)}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{4\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Теперь рассмотрим правую часть. По формуле тангенса двойного угла $ \text{tg}2x = \frac{2\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Правая часть = $ 2\text{tg}2x = 2 \cdot \frac{2\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} = \frac{4\text{tg}x}{1 - \text{tg}^2x} $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) в) Докажем тождество $ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha)}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha)} = \sqrt{3} $.
Выражение в левой части в точности соответствует формуле тангенса суммы $ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A\text{tg}B} $, где $ A = \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} - \alpha $.
Следовательно, левая часть равна $ \text{tg}(\alpha + (\frac{\pi}{3} - \alpha)) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) $.
Значение $ \text{tg}(\frac{\pi}{3}) $ равно $ \sqrt{3} $.
Таким образом, $ \sqrt{3} = \sqrt{3} $. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) г) Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $.
Раскроем синус суммы в числителе левой части:
Левая часть = $ \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} $.
Разделим дробь на две:
$ \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} $.
Сократим одинаковые множители в каждой дроби:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $.
По определению тангенса $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому выражение равно $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta $.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.