Страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

15. 1) Какие задачи решаются при исследовании функции?

2) Проведите исследование функции:

a) $y = \sin x - 2$;

б) $y = -\frac{6}{x-3}$;

в) $y = x^2 - 4x + 3$;

г) $y = 2 \cos x + 1$.

3) Постройте графики этих функций.

1)

При полном исследовании функции обычно решаются следующие задачи:

• Нахождение области определения функции $D(y)$.
• Нахождение области (множества) значений функции $E(y)$.
• Проверка функции на четность и нечетность.
• Определение периодичности функции (если применимо).
• Нахождение точек пересечения графика с осями координат (нулей функции и пересечения с осью Oy).
• Нахождение промежутков знакопостоянства (интервалов, где $y > 0$ и $y < 0$).
• Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.
• Нахождение точек экстремума (максимума и минимума) и значений функции в этих точках.
• Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, горизонтальных, наклонных).

Результаты этого исследования позволяют детально представить поведение функции и построить ее график.

2) и 3)

Проведем исследование для каждой функции и на основе полученных данных опишем построение ее графика.

а) $y = \sin x - 2$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любого $x$.
2. Область значений: Известно, что $-1 \le \sin x \le 1$. Тогда $-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$, откуда следует, что $-3 \le y \le -1$. Таким образом, $E(y) = [-3; -1]$.
3. Четность/нечетность: $y(-x) = \sin(-x) - 2 = -\sin x - 2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
4. Периодичность: Функция периодическая. Ее период совпадает с периодом функции $\sin x$ и равен $T = 2\pi$.
5. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox: $y=0 \implies \sin x - 2 = 0 \implies \sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = \sin 0 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.
6. Экстремумы:
   • Точки максимума: $y_{max} = -1$ достигаются при $\sin x = 1$, т.е. при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
   • Точки минимума: $y_{min} = -3$ достигаются при $\sin x = -1$, т.е. при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Построение графика: График функции $y = \sin x - 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ (синусоиды) путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Ответ: Функция $y = \sin x - 2$ — периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-3; -1]$. График — синусоида, сдвинутая на 2 единицы вниз.

б) $y = -\frac{6}{x-3}$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю: $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Область значений: Дробь не может быть равна нулю, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: $x=3$ (где знаменатель обращается в нуль).
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (-\frac{6}{x-3}) = 0$.
4. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox: $y=0$. Уравнение $-\frac{6}{x-3}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = -\frac{6}{0-3} = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
5. Промежутки возрастания/убывания: Найдем производную: $y' = (-\frac{6}{x-3})' = (-6(x-3)^{-1})' = 6(x-3)^{-2} = \frac{6}{(x-3)^2}$. Так как $(x-3)^2 > 0$ на всей области определения, то $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Экстремумов нет.
6. Построение графика: График функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = -6/x$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=3$ и $y=0$.

Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-3}$ — гипербола с асимптотами $x=3, y=0$, возрастающая на всей области определения $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = x^2 - 4x + 3$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Общая форма: Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$.
4. Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, $E(y) = [-1; +\infty)$.
5. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1=1, x_2=3$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0; 3)$.
6. Промежутки возрастания/убывания: Функция убывает на интервале $(-\infty; 2]$ и возрастает на интервале $[2; +\infty)$. Точка $(2, -1)$ является точкой минимума.
7. Построение графика: Строим параболу, используя найденные ключевые точки: вершину $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 3)$ и симметричную ей точку $(4; 3)$ относительно оси симметрии $x=2$.

Ответ: Функция $y = x^2 - 4x + 3$ — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.

г) $y = 2 \cos x + 1$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Известно, что $-1 \le \cos x \le 1$. Умножив на 2, получим $-2 \le 2\cos x \le 2$. Прибавив 1, получим $-2+1 \le 2\cos x + 1 \le 2+1$, то есть $-1 \le y \le 3$. Таким образом, $E(y) = [-1; 3]$.
3. Четность/нечетность: $y(-x) = 2\cos(-x) + 1 = 2\cos x + 1 = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
4. Периодичность: Функция периодическая. Период совпадает с периодом $\cos x$ и равен $T = 2\pi$.
5. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox: $y=0 \implies 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. Решения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = 2\cos 0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$. Точка пересечения $(0; 3)$.
6. Экстремумы:
   • Точки максимума: $y_{max} = 3$ достигаются при $\cos x = 1$, т.е. при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
   • Точки минимума: $y_{min} = -1$ достигаются при $\cos x = -1$, т.е. при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Построение графика: График функции $y = 2\cos x + 1$ получается из графика $y=\cos x$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy (амплитуда становится равной 2) и последующего сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ответ: Функция $y = 2 \cos x + 1$ — четная, периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-1; 3]$. График — косинусоида, растянутая в 2 раза по вертикали и сдвинутая на 1 единицу вверх.

16. 1) Дайте определения четной и нечетной функций. Каким свойством обладают их графики?

2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая — нечетной:

а) $y = \frac{\sin x}{x}$;

б) $y = x + x^5$;

в) $y = x \cos x$;

г) $y = 3x^2 + x^6$.

3) Постройте график функции $f$, если известно, что:

а) $f$ — нечетная; $f (x) = \cos x - 1$ при $x \in (-\infty; 0];$

б) $f$ — четная; $f (x) = (x - 1)^3$ при $x \in [0; \infty);$

в) $f$ — четная; $f (x) = \sin x$ при $x \in (-\infty; 0];$

г) $f$ — четная; $f (x) = 4x - x^2$ при $x \in [0; \infty).$

1)

Функция $y = f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого значения $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).

Ответ: Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$, ее график симметричен относительно оси OY. Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$, ее график симметричен относительно начала координат.

2)

а) $y = \frac{\sin x}{x}$

Пусть $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = x + x^5$

Пусть $f(x) = x + x^5$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = (-x) + (-x)^5 = -x - x^5 = -(x + x^5) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = x \cos x$

Пусть $f(x) = x \cos x$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -(x \cos x) = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) $y = 3x^2 + x^6$

Пусть $f(x) = 3x^2 + x^6$. Область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим свойство четности:

$f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^6 = 3x^2 + x^6 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3)

а) $f$ — нечетная; $f(x) = \cos x - 1$ при $x \in (-\infty; 0]$

Так как функция $f$ нечетная, то $f(x) = -f(-x)$. Для $x > 0$ имеем $-x < 0$, поэтому:

$f(x) = -f(-x) = -(\cos(-x) - 1) = -(\cos x - 1) = 1 - \cos x$.

Чтобы построить график, нужно построить график $y = \cos x - 1$ для $x \le 0$ и отразить его симметрично относительно начала координат.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \cos x - 1, & \text{при } x \le 0 \\ 1 - \cos x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$.

б) $f$ — четная; $f(x) = (x - 1)^3$ при $x \in [0; \infty)$

Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x < 0$ имеем $-x > 0$, поэтому:

$f(x) = f(-x) = ((-x) - 1)^3 = (-(x+1))^3 = -(x+1)^3$.

Чтобы построить график, нужно построить график $y = (x - 1)^3$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -(x+1)^3, & \text{при } x < 0 \\ (x - 1)^3, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$.

в) $f$ — четная; $f(x) = \sin x$ при $x \in (-\infty; 0]$

Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x > 0$ имеем $-x < 0$, поэтому:

$f(x) = f(-x) = \sin(-x) = -\sin x$.

Чтобы построить график, нужно построить график $y = \sin x$ для $x \le 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} \sin x, & \text{при } x \le 0 \\ -\sin x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$.

г) $f$ — четная; $f(x) = 4x - x^2$ при $x \in [0; \infty)$

Так как функция $f$ четная, то $f(x) = f(-x)$. Для $x < 0$ имеем $-x > 0$, поэтому:

$f(x) = f(-x) = 4(-x) - (-x)^2 = -4x - x^2$.

Чтобы построить график, нужно построить график параболы $y = 4x - x^2$ для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} -4x - x^2, & \text{при } x < 0 \\ 4x - x^2, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$.

17. 1) Что такое периодическая функция, период функции?

2) Какой наименьший положительный период имеет функция:
а) $y = \cos x$; б) $y = \operatorname{tg} x$; в) $y = \sin x$; г) $y = \operatorname{ctg} x$?

3) Найдите наименьший положительный период функции:
а) $y = \sin \frac{x}{2}$; б) $y = \cos (4x + 1)$; в) $y = \operatorname{tg} 2x$; г) $y = \cos \frac{x}{3}$.

1) Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции ($x \in D(f)$) числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения и выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Число $T$ называется периодом функции. Любое число, кратное периоду ($nT$, где $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом функции. Наименьший положительный период функции, если он существует, называется основным (или главным) периодом.

2)

а) Функция $y = \cos x$. Наименьший положительный период косинуса является стандартной величиной в тригонометрии.
Ответ: $2\pi$.

б) Функция $y = \text{tg} x$. Наименьший положительный период тангенса.
Ответ: $\pi$.

в) Функция $y = \sin x$. Наименьший положительный период синуса.
Ответ: $2\pi$.

г) Функция $y = \text{ctg} x$. Наименьший положительный период котангенса.
Ответ: $\pi$.

3) Для нахождения наименьшего положительного периода $T$ функции, заданной формулой вида $y = A \cdot f(kx+b)+C$, где $f(x)$ - периодическая функция с основным периодом $T_0$, используется формула: $T = \frac{T_0}{|k|}$.

а) $y = \sin\frac{x}{2}$
Базовая функция — $y = \sin x$, её основной период $T_0 = 2\pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

б) $y = \cos(4x+1)$
Базовая функция — $y = \cos x$, её основной период $T_0 = 2\pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = 4$. Сдвиг на 1 не влияет на период.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) $y = \text{tg} 2x$
Базовая функция — $y = \text{tg} x$, её основной период $T_0 = \pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = 2$.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $y = \cos\frac{x}{3}$
Базовая функция — $y = \cos x$, её основной период $T_0 = 2\pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 6\pi$.
Ответ: $6\pi$.

18. 1) Перечислите основные свойства функции синус.

2) Пользуясь свойствами функции синус, расположите в порядке возрастания числа:

a) $\sin 0,3$, $\sin 1,1$, $\sin (-1,2)$;

б) $\sin 4$, $\sin 3,6$, $\sin 2$;

в) $\sin 0,4$, $\sin (-0,9)$, $\sin 1,4$;

г) $\sin 4,3$, $\sin 2,9$, $\sin 1,9$.

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = \sin \frac{x}{3}$;

в) $y = 1 + 1,5 \sin x$;

г) $y = \sin 2x$.

1)

Основные свойства функции $y = \sin x$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: отрезок $[-1; 1]$, $E(y) = [-1; 1]$.
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
• Четность: функция является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin x$ для любого $x$ из области определения. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ (синус положителен) на интервалах $(2\pi k; \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ (синус отрицателен) на интервалах $(\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции равно 1.
  • Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение функции равно -1.

Ответ: Перечисленные выше свойства являются основными свойствами функции синус.

2)

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойствами функции синус. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, откуда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

а) sin 0,3, sin 1,1, sin (–1,2)

Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-1,2) = -\sin(1,2)$.
Аргументы 0,3, 1,1 и 1,2 принадлежат промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$, то есть $[0; 1,57]$.
На этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $0,3 < 1,1 < 1,2$, то $\sin 0,3 < \sin 1,1 < \sin 1,2$.
Так как $\sin 1,2 > 0$, то $-\sin 1,2 < 0$. Значения $\sin 0,3$ и $\sin 1,1$ положительны.
Следовательно, наименьшее число — это $\sin(-1,2)$.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin(-1,2), \sin 0,3, \sin 1,1$.

Ответ: $\sin(-1,2), \sin 0,3, \sin 1,1$.

б) sin 4, sin 3,6, sin 2

Оценим положение аргументов на числовой окружности:

• Аргумент 2 находится в промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi] \approx [1,57; 3,14]$. В этой четверти синус положителен.
• Аргументы 3,6 и 4 находятся в промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}] \approx [3,14; 4,71]$. В этой четверти синус отрицателен.

Таким образом, $\sin 2$ — единственное положительное число, и оно является наибольшим.
Сравним $\sin 3,6$ и $\sin 4$. На промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает. Так как $3,6 < 4$, то $\sin 3,6 > \sin 4$.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 2$.

Ответ: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 2$.

в) sin 0,4, sin (–0,9), sin 1,4

Используем нечетность синуса: $\sin(-0,9) = -\sin(0,9)$.
Аргументы 0,4, 0,9 и 1,4 принадлежат промежутку $[0; \frac{\pi}{2}] \approx [0; 1,57]$.
На этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $0,4 < 0,9 < 1,4$, то $\sin 0,4 < \sin 0,9 < \sin 1,4$.
Значение $\sin(-0,9) = -\sin(0,9)$ отрицательно, а $\sin 0,4$ и $\sin 1,4$ положительны. Значит, $\sin(-0,9)$ — наименьшее число.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin(-0,9), \sin 0,4, \sin 1,4$.

Ответ: $\sin(-0,9), \sin 0,4, \sin 1,4$.

г) sin 4,3, sin 2,9, sin 1,9

Оценим положение аргументов:

• Аргументы 1,9 и 2,9 находятся в промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi] \approx [1,57; 3,14]$. Здесь синус положителен и убывает.
• Аргумент 4,3 находится в промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}] \approx [3,14; 4,71]$. Здесь синус отрицателен.

Следовательно, $\sin 4,3$ является наименьшим числом.
Сравним $\sin 1,9$ и $\sin 2,9$. На промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $y = \sin x$ убывает. Так как $1,9 < 2,9$, то $\sin 1,9 > \sin 2,9$.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin 4,3, \sin 2,9, \sin 1,9$.

Ответ: $\sin 4,3, \sin 2,9, \sin 1,9$.

3)

а) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
4. Период: $T = 2\pi$.
5. Нули функции: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, y_{max}=1$.
7. Точки минимума: $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, y_{min}=-1$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

б) $y = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
4. Период: $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
5. Нули функции: $\frac{x}{3} = \pi k \implies x = 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, y_{max}=1$.
7. Точки минимума: $\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k, y_{min}=-1$.
8. Функция нечетная, так как $\sin\left(\frac{-x}{3}\right) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

в) $y = 1 + 1,5 \sin x$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
   1. Растяжение вдоль оси Oy в 1,5 раза.
   2. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 1 единицу.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1,5+1; 1,5+1] = [-0,5; 2,5]$.
4. Период: $T = 2\pi$.
5. Нули функции: $1 + 1,5 \sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{2}{3}$.
   $x = (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y_{max}=1+1,5 \cdot 1 = 2,5$.
7. Точки минимума: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, y_{min}=1+1,5 \cdot (-1) = -0,5$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

г) $y = \sin(2x)$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ сжатием в 2 раза вдоль оси Ox.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
4. Период: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
5. Нули функции: $2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, y_{max}=1$.
7. Точки минимума: $2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, y_{min}=-1$.
8. Функция нечетная, так как $\sin(2(-x)) = -\sin(2x)$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

19. 1) Перечислите основные свойства функции косинус.

2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \cos 0,3, \cos (-2,9), \cos 1,8; $

б) $ \cos 5,3, \cos 4,4, \cos 6,2; $

в) $ \cos 0,5, \cos (-1,3), \cos 3; $

г) $ \cos 6,1, \cos 3,5, \cos 4,9. $

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) $ y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right); $

б) $ y = -\cos x; $

в) $ y = 2 \cos x - 1; $

г) $ y = \cos \frac{x}{2}. $

Основные свойства функции $y = \cos(x)$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: отрезок от -1 до 1, $E(y) = [-1; 1]$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Периодичность: функция периодическая, наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. То есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.
• Нули функции: $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $\cos(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $\cos(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Перечисленные выше свойства являются основными для функции косинус.

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойствами четности и монотонности функции косинус. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Даны числа: $\cos 0,3$, $\cos (-2,9)$, $\cos 1,8$. Используя свойство четности косинуса, имеем $\cos(-2,9) = \cos(2,9)$. Теперь нужно сравнить $\cos 0,3$, $\cos 2,9$ и $\cos 1,8$. Аргументы $0,3$, $1,8$, $2,9$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,3 < 1,8 < 2,9$, то в силу убывания функции на данном промежутке получаем: $\cos(0,3) > \cos(1,8) > \cos(2,9)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(2,9), \cos(1,8), \cos(0,3)$.

Ответ: $\cos(-2,9)$, $\cos(1,8)$, $\cos(0,3)$.

Даны числа: $\cos 5,3$, $\cos 4,4$, $\cos 6,2$. Аргументы $4,4$, $5,3$, $6,2$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $4,4 < 5,3 < 6,2$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(4,4) < \cos(5,3) < \cos(6,2)$.

Ответ: $\cos 4,4$, $\cos 5,3$, $\cos 6,2$.

Даны числа: $\cos 0,5$, $\cos (-1,3)$, $\cos 3$. Используя свойство четности, имеем $\cos(-1,3) = \cos(1,3)$. Сравниваем $\cos 0,5$, $\cos 1,3$ и $\cos 3$. Аргументы $0,5$, $1,3$, $3$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,5 < 1,3 < 3$, то $\cos(0,5) > \cos(1,3) > \cos(3)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(3), \cos(1,3), \cos(0,5)$.

Ответ: $\cos 3$, $\cos(-1,3)$, $\cos 0,5$.

Даны числа: $\cos 6,1$, $\cos 3,5$, $\cos 4,9$. Аргументы $3,5$, $4,9$, $6,1$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $3,5 < 4,9 < 6,1$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(3,5) < \cos(4,9) < \cos(6,1)$.

Ответ: $\cos 3,5$, $\cos 4,9$, $\cos 6,1$.

Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$ влево.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T=2\pi$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
• Точки минимума: $x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \cos(x)$, а затем сдвинуть его влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{6}, 1)$, точка $( \frac{\pi}{2}, 0)$ в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$, точка минимума $(\pi, -1)$ в точку $(\frac{5\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$ — это косинусоида, сдвинутая влево по оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$.

Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси ОХ.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T=2\pi$.
• Функция является четной, т.к. $y(-x) = -\cos(-x) = -\cos(x) = y(x)$.
• Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (те же, что и у $\cos x$).
• Точки максимума: $-\cos x = 1 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
• Точки минимума: $-\cos x = -1 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и отразить его симметрично относительно оси абсцисс. Точка $(0, 1)$ перейдет в $(0, -1)$, точка $(\pi, -1)$ перейдет в $(\pi, 1)$, а нули функции останутся на своих местах.

Ответ: График функции $y=-\cos x$ — это косинусоида, отраженная симметрично относительно оси ОХ.

Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ двумя преобразованиями: растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом вниз вдоль оси OY на 1 единицу.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le 2\cos x \le 2$, и $-3 \le 2\cos x - 1 \le 1$. $E(y) = [-3; 1]$.
• Период: $T=2\pi$.
• Функция является четной.
• Нули функции: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=2(1)-1=1$.
• Точки минимума: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=2(-1)-1=-3$.

Построение графика: Сначала строим график $y = \cos(x)$. Затем растягиваем его от оси ОХ в 2 раза, получая график $y = 2\cos(x)$ (колебания от -2 до 2). После этого сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз. Итоговый график будет колебаться между $y=-3$ и $y=1$ относительно "средней линии" $y=-1$.

Ответ: График функции $y = 2\cos x - 1$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY и смещенная на 1 единицу вниз.

Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения вдоль оси ОХ в 2 раза.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
• Функция является четной.
• Нули функции: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
• Точки минимума: $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и "растянуть" его в 2 раза вдоль оси абсцисс. Период увеличится вдвое и станет равен $4\pi$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переместится в $(\pi, 0)$, точка $(\pi, -1)$ в $(2\pi, -1)$ и так далее.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси ОХ, с периодом $4\pi$.