Номер 19, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 19, страница 95.
№19 (с. 95)
Условие. №19 (с. 95)
скриншот условия

19. 1) Перечислите основные свойства функции косинус.
2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа:
a) $ \cos 0,3, \cos (-2,9), \cos 1,8; $
б) $ \cos 5,3, \cos 4,4, \cos 6,2; $
в) $ \cos 0,5, \cos (-1,3), \cos 3; $
г) $ \cos 6,1, \cos 3,5, \cos 4,9. $
3) Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) $ y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right); $
б) $ y = -\cos x; $
в) $ y = 2 \cos x - 1; $
г) $ y = \cos \frac{x}{2}. $
Решение 5. №19 (с. 95)
Основные свойства функции $y = \cos(x)$:
- Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: отрезок от -1 до 1, $E(y) = [-1; 1]$.
- Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
- Периодичность: функция периодическая, наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. То есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.
- Нули функции: $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
- Промежутки знакопостоянства:
- $\cos(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $\cos(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Экстремумы:
- Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Промежутки монотонности:
- Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
Ответ: Перечисленные выше свойства являются основными для функции косинус.
2)Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойствами четности и монотонности функции косинус. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
а)Даны числа: $\cos 0,3$, $\cos (-2,9)$, $\cos 1,8$. Используя свойство четности косинуса, имеем $\cos(-2,9) = \cos(2,9)$. Теперь нужно сравнить $\cos 0,3$, $\cos 2,9$ и $\cos 1,8$. Аргументы $0,3$, $1,8$, $2,9$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,3 < 1,8 < 2,9$, то в силу убывания функции на данном промежутке получаем: $\cos(0,3) > \cos(1,8) > \cos(2,9)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(2,9), \cos(1,8), \cos(0,3)$.
Ответ: $\cos(-2,9)$, $\cos(1,8)$, $\cos(0,3)$.
б)Даны числа: $\cos 5,3$, $\cos 4,4$, $\cos 6,2$. Аргументы $4,4$, $5,3$, $6,2$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $4,4 < 5,3 < 6,2$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(4,4) < \cos(5,3) < \cos(6,2)$.
Ответ: $\cos 4,4$, $\cos 5,3$, $\cos 6,2$.
в)Даны числа: $\cos 0,5$, $\cos (-1,3)$, $\cos 3$. Используя свойство четности, имеем $\cos(-1,3) = \cos(1,3)$. Сравниваем $\cos 0,5$, $\cos 1,3$ и $\cos 3$. Аргументы $0,5$, $1,3$, $3$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,5 < 1,3 < 3$, то $\cos(0,5) > \cos(1,3) > \cos(3)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(3), \cos(1,3), \cos(0,5)$.
Ответ: $\cos 3$, $\cos(-1,3)$, $\cos 0,5$.
г)Даны числа: $\cos 6,1$, $\cos 3,5$, $\cos 4,9$. Аргументы $3,5$, $4,9$, $6,1$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $3,5 < 4,9 < 6,1$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(3,5) < \cos(4,9) < \cos(6,1)$.
Ответ: $\cos 3,5$, $\cos 4,9$, $\cos 6,1$.
3) а) $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$ влево.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
- Период: $T=2\pi$.
- Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
- Нули функции: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Точки максимума: $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
- Точки минимума: $x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.
Построение графика: Для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \cos(x)$, а затем сдвинуть его влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{6}, 1)$, точка $( \frac{\pi}{2}, 0)$ в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$, точка минимума $(\pi, -1)$ в точку $(\frac{5\pi}{6}, -1)$.
Ответ: График функции $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$ — это косинусоида, сдвинутая влево по оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$.
б) $y = -\cos x$Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси ОХ.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
- Период: $T=2\pi$.
- Функция является четной, т.к. $y(-x) = -\cos(-x) = -\cos(x) = y(x)$.
- Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (те же, что и у $\cos x$).
- Точки максимума: $-\cos x = 1 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
- Точки минимума: $-\cos x = -1 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.
Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и отразить его симметрично относительно оси абсцисс. Точка $(0, 1)$ перейдет в $(0, -1)$, точка $(\pi, -1)$ перейдет в $(\pi, 1)$, а нули функции останутся на своих местах.
Ответ: График функции $y=-\cos x$ — это косинусоида, отраженная симметрично относительно оси ОХ.
в) $y = 2\cos x - 1$Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ двумя преобразованиями: растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом вниз вдоль оси OY на 1 единицу.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le 2\cos x \le 2$, и $-3 \le 2\cos x - 1 \le 1$. $E(y) = [-3; 1]$.
- Период: $T=2\pi$.
- Функция является четной.
- Нули функции: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Точки максимума: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=2(1)-1=1$.
- Точки минимума: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=2(-1)-1=-3$.
Построение графика: Сначала строим график $y = \cos(x)$. Затем растягиваем его от оси ОХ в 2 раза, получая график $y = 2\cos(x)$ (колебания от -2 до 2). После этого сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз. Итоговый график будет колебаться между $y=-3$ и $y=1$ относительно "средней линии" $y=-1$.
Ответ: График функции $y = 2\cos x - 1$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY и смещенная на 1 единицу вниз.
г) $y = \cos\frac{x}{2}$Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения вдоль оси ОХ в 2 раза.
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
- Период: $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
- Функция является четной.
- Нули функции: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- Точки максимума: $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
- Точки минимума: $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.
Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и "растянуть" его в 2 раза вдоль оси абсцисс. Период увеличится вдвое и станет равен $4\pi$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переместится в $(\pi, 0)$, точка $(\pi, -1)$ в $(2\pi, -1)$ и так далее.
Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси ОХ, с периодом $4\pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 19 расположенного на странице 95 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19 (с. 95), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.