Номер 19, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 19, страница 95.

Условие.

19. 1) Перечислите основные свойства функции косинус.

2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \cos 0,3, \cos (-2,9), \cos 1,8; $

б) $ \cos 5,3, \cos 4,4, \cos 6,2; $

в) $ \cos 0,5, \cos (-1,3), \cos 3; $

г) $ \cos 6,1, \cos 3,5, \cos 4,9. $

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) $ y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right); $

б) $ y = -\cos x; $

в) $ y = 2 \cos x - 1; $

г) $ y = \cos \frac{x}{2}. $

Решение 5.

1)

Основные свойства функции $y = \cos(x)$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: отрезок от -1 до 1, $E(y) = [-1; 1]$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Периодичность: функция периодическая, наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. То есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.
• Нули функции: $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $\cos(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $\cos(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Перечисленные выше свойства являются основными для функции косинус.

2)

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойствами четности и монотонности функции косинус. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

а)

Даны числа: $\cos 0,3$, $\cos (-2,9)$, $\cos 1,8$. Используя свойство четности косинуса, имеем $\cos(-2,9) = \cos(2,9)$. Теперь нужно сравнить $\cos 0,3$, $\cos 2,9$ и $\cos 1,8$. Аргументы $0,3$, $1,8$, $2,9$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,3 < 1,8 < 2,9$, то в силу убывания функции на данном промежутке получаем: $\cos(0,3) > \cos(1,8) > \cos(2,9)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(2,9), \cos(1,8), \cos(0,3)$.

Ответ: $\cos(-2,9)$, $\cos(1,8)$, $\cos(0,3)$.

б)

Даны числа: $\cos 5,3$, $\cos 4,4$, $\cos 6,2$. Аргументы $4,4$, $5,3$, $6,2$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $4,4 < 5,3 < 6,2$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(4,4) < \cos(5,3) < \cos(6,2)$.

Ответ: $\cos 4,4$, $\cos 5,3$, $\cos 6,2$.

в)

Даны числа: $\cos 0,5$, $\cos (-1,3)$, $\cos 3$. Используя свойство четности, имеем $\cos(-1,3) = \cos(1,3)$. Сравниваем $\cos 0,5$, $\cos 1,3$ и $\cos 3$. Аргументы $0,5$, $1,3$, $3$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,5 < 1,3 < 3$, то $\cos(0,5) > \cos(1,3) > \cos(3)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(3), \cos(1,3), \cos(0,5)$.

Ответ: $\cos 3$, $\cos(-1,3)$, $\cos 0,5$.

г)

Даны числа: $\cos 6,1$, $\cos 3,5$, $\cos 4,9$. Аргументы $3,5$, $4,9$, $6,1$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $3,5 < 4,9 < 6,1$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(3,5) < \cos(4,9) < \cos(6,1)$.

Ответ: $\cos 3,5$, $\cos 4,9$, $\cos 6,1$.

3) а) $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$

Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$ влево.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T=2\pi$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
• Нули функции: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
• Точки минимума: $x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \cos(x)$, а затем сдвинуть его влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{6}, 1)$, точка $( \frac{\pi}{2}, 0)$ в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$, точка минимума $(\pi, -1)$ в точку $(\frac{5\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$ — это косинусоида, сдвинутая влево по оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$.

б) $y = -\cos x$

Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси ОХ.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T=2\pi$.
• Функция является четной, т.к. $y(-x) = -\cos(-x) = -\cos(x) = y(x)$.
• Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (те же, что и у $\cos x$).
• Точки максимума: $-\cos x = 1 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
• Точки минимума: $-\cos x = -1 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и отразить его симметрично относительно оси абсцисс. Точка $(0, 1)$ перейдет в $(0, -1)$, точка $(\pi, -1)$ перейдет в $(\pi, 1)$, а нули функции останутся на своих местах.

Ответ: График функции $y=-\cos x$ — это косинусоида, отраженная симметрично относительно оси ОХ.

в) $y = 2\cos x - 1$

Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ двумя преобразованиями: растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом вниз вдоль оси OY на 1 единицу.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le 2\cos x \le 2$, и $-3 \le 2\cos x - 1 \le 1$. $E(y) = [-3; 1]$.
• Период: $T=2\pi$.
• Функция является четной.
• Нули функции: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=2(1)-1=1$.
• Точки минимума: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=2(-1)-1=-3$.

Построение графика: Сначала строим график $y = \cos(x)$. Затем растягиваем его от оси ОХ в 2 раза, получая график $y = 2\cos(x)$ (колебания от -2 до 2). После этого сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз. Итоговый график будет колебаться между $y=-3$ и $y=1$ относительно "средней линии" $y=-1$.

Ответ: График функции $y = 2\cos x - 1$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY и смещенная на 1 единицу вниз.

г) $y = \cos\frac{x}{2}$

Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения вдоль оси ОХ в 2 раза.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
• Период: $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
• Функция является четной.
• Нули функции: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Точки максимума: $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
• Точки минимума: $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и "растянуть" его в 2 раза вдоль оси абсцисс. Период увеличится вдвое и станет равен $4\pi$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переместится в $(\pi, 0)$, точка $(\pi, -1)$ в $(2\pi, -1)$ и так далее.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси ОХ, с периодом $4\pi$.