Номер 19, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 19, страница 95.

№19 (с. 95)
Условие. №19 (с. 95)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 95, номер 19, Условие

19. 1) Перечислите основные свойства функции косинус.

2) Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа:

a) $ \cos 0,3, \cos (-2,9), \cos 1,8; $

б) $ \cos 5,3, \cos 4,4, \cos 6,2; $

в) $ \cos 0,5, \cos (-1,3), \cos 3; $

г) $ \cos 6,1, \cos 3,5, \cos 4,9. $

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) $ y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right); $

б) $ y = -\cos x; $

в) $ y = 2 \cos x - 1; $

г) $ y = \cos \frac{x}{2}. $

Решение 5. №19 (с. 95)
1)

Основные свойства функции $y = \cos(x)$:

  • Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Область значений: отрезок от -1 до 1, $E(y) = [-1; 1]$.
  • Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
  • Периодичность: функция периодическая, наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. То есть $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.
  • Нули функции: $\cos(x) = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  • Промежутки знакопостоянства:
    • $\cos(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
    • $\cos(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Экстремумы:
    • Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
    • Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Промежутки монотонности:
    • Функция возрастает на промежутках вида $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
    • Функция убывает на промежутках вида $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Перечисленные выше свойства являются основными для функции косинус.

2)

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойствами четности и монотонности функции косинус. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

а)

Даны числа: $\cos 0,3$, $\cos (-2,9)$, $\cos 1,8$. Используя свойство четности косинуса, имеем $\cos(-2,9) = \cos(2,9)$. Теперь нужно сравнить $\cos 0,3$, $\cos 2,9$ и $\cos 1,8$. Аргументы $0,3$, $1,8$, $2,9$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,3 < 1,8 < 2,9$, то в силу убывания функции на данном промежутке получаем: $\cos(0,3) > \cos(1,8) > \cos(2,9)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(2,9), \cos(1,8), \cos(0,3)$.

Ответ: $\cos(-2,9)$, $\cos(1,8)$, $\cos(0,3)$.

б)

Даны числа: $\cos 5,3$, $\cos 4,4$, $\cos 6,2$. Аргументы $4,4$, $5,3$, $6,2$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $4,4 < 5,3 < 6,2$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(4,4) < \cos(5,3) < \cos(6,2)$.

Ответ: $\cos 4,4$, $\cos 5,3$, $\cos 6,2$.

в)

Даны числа: $\cos 0,5$, $\cos (-1,3)$, $\cos 3$. Используя свойство четности, имеем $\cos(-1,3) = \cos(1,3)$. Сравниваем $\cos 0,5$, $\cos 1,3$ и $\cos 3$. Аргументы $0,5$, $1,3$, $3$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором функция $y = \cos(x)$ убывает. Так как $0,5 < 1,3 < 3$, то $\cos(0,5) > \cos(1,3) > \cos(3)$. Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\cos(3), \cos(1,3), \cos(0,5)$.

Ответ: $\cos 3$, $\cos(-1,3)$, $\cos 0,5$.

г)

Даны числа: $\cos 6,1$, $\cos 3,5$, $\cos 4,9$. Аргументы $3,5$, $4,9$, $6,1$ принадлежат промежутку $[\pi; 2\pi]$ (приблизительно $[3,14; 6,28]$), на котором функция $y = \cos(x)$ возрастает. Так как $3,5 < 4,9 < 6,1$, то в силу возрастания функции на данном промежутке получаем: $\cos(3,5) < \cos(4,9) < \cos(6,1)$.

Ответ: $\cos 3,5$, $\cos 4,9$, $\cos 6,1$.

3) а) $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$

Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$ влево.

  • Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
  • Период: $T=2\pi$.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
  • Нули функции: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Точки максимума: $x + \frac{\pi}{6} = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно сначала построить график функции $y = \cos(x)$, а затем сдвинуть его влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{6}, 1)$, точка $( \frac{\pi}{2}, 0)$ в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$, точка минимума $(\pi, -1)$ в точку $(\frac{5\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y=\cos(x+\frac{\pi}{6})$ — это косинусоида, сдвинутая влево по оси ОХ на $\frac{\pi}{6}$.

б) $y = -\cos x$

Исследование функции: График данной функции получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси ОХ.

  • Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
  • Период: $T=2\pi$.
  • Функция является четной, т.к. $y(-x) = -\cos(-x) = -\cos(x) = y(x)$.
  • Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (те же, что и у $\cos x$).
  • Точки максимума: $-\cos x = 1 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $-\cos x = -1 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и отразить его симметрично относительно оси абсцисс. Точка $(0, 1)$ перейдет в $(0, -1)$, точка $(\pi, -1)$ перейдет в $(\pi, 1)$, а нули функции останутся на своих местах.

Ответ: График функции $y=-\cos x$ — это косинусоида, отраженная симметрично относительно оси ОХ.

в) $y = 2\cos x - 1$

Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ двумя преобразованиями: растяжением вдоль оси OY в 2 раза и сдвигом вниз вдоль оси OY на 1 единицу.

  • Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Область значений: так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le 2\cos x \le 2$, и $-3 \le 2\cos x - 1 \le 1$. $E(y) = [-3; 1]$.
  • Период: $T=2\pi$.
  • Функция является четной.
  • Нули функции: $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Точки максимума: $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=2(1)-1=1$.
  • Точки минимума: $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=2(-1)-1=-3$.

Построение графика: Сначала строим график $y = \cos(x)$. Затем растягиваем его от оси ОХ в 2 раза, получая график $y = 2\cos(x)$ (колебания от -2 до 2). После этого сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз. Итоговый график будет колебаться между $y=-3$ и $y=1$ относительно "средней линии" $y=-1$.

Ответ: График функции $y = 2\cos x - 1$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси OY и смещенная на 1 единицу вниз.

г) $y = \cos\frac{x}{2}$

Исследование функции: График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем его растяжения вдоль оси ОХ в 2 раза.

  • Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
  • Период: $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi$.
  • Функция является четной.
  • Нули функции: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Точки максимума: $\frac{x}{2} = 2\pi k \implies x = 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{max}=1$.
  • Точки минимума: $\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции $y_{min}=-1$.

Построение графика: Для построения графика нужно построить график $y=\cos(x)$ и "растянуть" его в 2 раза вдоль оси абсцисс. Период увеличится вдвое и станет равен $4\pi$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переместится в $(\pi, 0)$, точка $(\pi, -1)$ в $(2\pi, -1)$ и так далее.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{2}$ — косинусоида, растянутая в 2 раза вдоль оси ОХ, с периодом $4\pi$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 19 расположенного на странице 95 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19 (с. 95), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.