Номер 18, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 18, страница 95.

Условие.

18. 1) Перечислите основные свойства функции синус.

2) Пользуясь свойствами функции синус, расположите в порядке возрастания числа:

a) $\sin 0,3$, $\sin 1,1$, $\sin (-1,2)$;

б) $\sin 4$, $\sin 3,6$, $\sin 2$;

в) $\sin 0,4$, $\sin (-0,9)$, $\sin 1,4$;

г) $\sin 4,3$, $\sin 2,9$, $\sin 1,9$.

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

a) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = \sin \frac{x}{3}$;

в) $y = 1 + 1,5 \sin x$;

г) $y = \sin 2x$.

Решение 5.

1)

Основные свойства функции $y = \sin x$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: отрезок $[-1; 1]$, $E(y) = [-1; 1]$.
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
• Четность: функция является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin x$ для любого $x$ из области определения. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ (синус положителен) на интервалах $(2\pi k; \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $y < 0$ (синус отрицателен) на интервалах $(\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Функция возрастает на отрезках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Функция убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции равно 1.
  • Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), $k \in \mathbb{Z}$. Минимальное значение функции равно -1.

Ответ: Перечисленные выше свойства являются основными свойствами функции синус.

2)

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойствами функции синус. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, откуда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

а) sin 0,3, sin 1,1, sin (–1,2)

Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-1,2) = -\sin(1,2)$.
Аргументы 0,3, 1,1 и 1,2 принадлежат промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$, то есть $[0; 1,57]$.
На этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $0,3 < 1,1 < 1,2$, то $\sin 0,3 < \sin 1,1 < \sin 1,2$.
Так как $\sin 1,2 > 0$, то $-\sin 1,2 < 0$. Значения $\sin 0,3$ и $\sin 1,1$ положительны.
Следовательно, наименьшее число — это $\sin(-1,2)$.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin(-1,2), \sin 0,3, \sin 1,1$.

Ответ: $\sin(-1,2), \sin 0,3, \sin 1,1$.

б) sin 4, sin 3,6, sin 2

Оценим положение аргументов на числовой окружности:

• Аргумент 2 находится в промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi] \approx [1,57; 3,14]$. В этой четверти синус положителен.
• Аргументы 3,6 и 4 находятся в промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}] \approx [3,14; 4,71]$. В этой четверти синус отрицателен.

Таким образом, $\sin 2$ — единственное положительное число, и оно является наибольшим.
Сравним $\sin 3,6$ и $\sin 4$. На промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает. Так как $3,6 < 4$, то $\sin 3,6 > \sin 4$.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 2$.

Ответ: $\sin 4, \sin 3,6, \sin 2$.

в) sin 0,4, sin (–0,9), sin 1,4

Используем нечетность синуса: $\sin(-0,9) = -\sin(0,9)$.
Аргументы 0,4, 0,9 и 1,4 принадлежат промежутку $[0; \frac{\pi}{2}] \approx [0; 1,57]$.
На этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $0,4 < 0,9 < 1,4$, то $\sin 0,4 < \sin 0,9 < \sin 1,4$.
Значение $\sin(-0,9) = -\sin(0,9)$ отрицательно, а $\sin 0,4$ и $\sin 1,4$ положительны. Значит, $\sin(-0,9)$ — наименьшее число.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin(-0,9), \sin 0,4, \sin 1,4$.

Ответ: $\sin(-0,9), \sin 0,4, \sin 1,4$.

г) sin 4,3, sin 2,9, sin 1,9

Оценим положение аргументов:

• Аргументы 1,9 и 2,9 находятся в промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi] \approx [1,57; 3,14]$. Здесь синус положителен и убывает.
• Аргумент 4,3 находится в промежутке $[\pi; \frac{3\pi}{2}] \approx [3,14; 4,71]$. Здесь синус отрицателен.

Следовательно, $\sin 4,3$ является наименьшим числом.
Сравним $\sin 1,9$ и $\sin 2,9$. На промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $y = \sin x$ убывает. Так как $1,9 < 2,9$, то $\sin 1,9 > \sin 2,9$.
Располагая числа в порядке возрастания, получаем: $\sin 4,3, \sin 2,9, \sin 1,9$.

Ответ: $\sin 4,3, \sin 2,9, \sin 1,9$.

3)

а) $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
4. Период: $T = 2\pi$.
5. Нули функции: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, y_{max}=1$.
7. Точки минимума: $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, y_{min}=-1$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

б) $y = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
4. Период: $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.
5. Нули функции: $\frac{x}{3} = \pi k \implies x = 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{2} + 6\pi k, y_{max}=1$.
7. Точки минимума: $\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi k, y_{min}=-1$.
8. Функция нечетная, так как $\sin\left(\frac{-x}{3}\right) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

в) $y = 1 + 1,5 \sin x$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
   1. Растяжение вдоль оси Oy в 1,5 раза.
   2. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 1 единицу.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1,5+1; 1,5+1] = [-0,5; 2,5]$.
4. Период: $T = 2\pi$.
5. Нули функции: $1 + 1,5 \sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{2}{3}$.
   $x = (-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y_{max}=1+1,5 \cdot 1 = 2,5$.
7. Точки минимума: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, y_{min}=1+1,5 \cdot (-1) = -0,5$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.

г) $y = \sin(2x)$

Исследование функции:

1. График функции получается из графика $y = \sin x$ сжатием в 2 раза вдоль оси Ox.
2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.
4. Период: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
5. Нули функции: $2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
6. Точки максимума: $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, y_{max}=1$.
7. Точки минимума: $2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, y_{min}=-1$.
8. Функция нечетная, так как $\sin(2(-x)) = -\sin(2x)$.

График функции:

Ответ: Исследование и график функции представлены выше.