Номер 15, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 15, страница 95.
№15 (с. 95)
Условие. №15 (с. 95)
скриншот условия

15. 1) Какие задачи решаются при исследовании функции?
2) Проведите исследование функции:
a) $y = \sin x - 2$;
б) $y = -\frac{6}{x-3}$;
в) $y = x^2 - 4x + 3$;
г) $y = 2 \cos x + 1$.
3) Постройте графики этих функций.
Решение 5. №15 (с. 95)
1)
При полном исследовании функции обычно решаются следующие задачи:
- Нахождение области определения функции $D(y)$.
- Нахождение области (множества) значений функции $E(y)$.
- Проверка функции на четность и нечетность.
- Определение периодичности функции (если применимо).
- Нахождение точек пересечения графика с осями координат (нулей функции и пересечения с осью Oy).
- Нахождение промежутков знакопостоянства (интервалов, где $y > 0$ и $y < 0$).
- Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.
- Нахождение точек экстремума (максимума и минимума) и значений функции в этих точках.
- Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, горизонтальных, наклонных).
Результаты этого исследования позволяют детально представить поведение функции и построить ее график.
2) и 3)
Проведем исследование для каждой функции и на основе полученных данных опишем построение ее графика.
а) $y = \sin x - 2$
Исследование и построение графика:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любого $x$.
- Область значений: Известно, что $-1 \le \sin x \le 1$. Тогда $-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$, откуда следует, что $-3 \le y \le -1$. Таким образом, $E(y) = [-3; -1]$.
- Четность/нечетность: $y(-x) = \sin(-x) - 2 = -\sin x - 2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
- Периодичность: Функция периодическая. Ее период совпадает с периодом функции $\sin x$ и равен $T = 2\pi$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью Ox: $y=0 \implies \sin x - 2 = 0 \implies \sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
- С осью Oy: $x=0 \implies y = \sin 0 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.
- Экстремумы:
- Точки максимума: $y_{max} = -1$ достигаются при $\sin x = 1$, т.е. при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Точки минимума: $y_{min} = -3$ достигаются при $\sin x = -1$, т.е. при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Построение графика: График функции $y = \sin x - 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ (синусоиды) путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.
Ответ: Функция $y = \sin x - 2$ — периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-3; -1]$. График — синусоида, сдвинутая на 2 единицы вниз.
б) $y = -\frac{6}{x-3}$
Исследование и построение графика:
- Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю: $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
- Область значений: Дробь не может быть равна нулю, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
- Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=3$ (где знаменатель обращается в нуль).
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (-\frac{6}{x-3}) = 0$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью Ox: $y=0$. Уравнение $-\frac{6}{x-3}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
- С осью Oy: $x=0 \implies y = -\frac{6}{0-3} = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
- Промежутки возрастания/убывания: Найдем производную: $y' = (-\frac{6}{x-3})' = (-6(x-3)^{-1})' = 6(x-3)^{-2} = \frac{6}{(x-3)^2}$. Так как $(x-3)^2 > 0$ на всей области определения, то $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Экстремумов нет.
- Построение графика: График функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = -6/x$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=3$ и $y=0$.
Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-3}$ — гипербола с асимптотами $x=3, y=0$, возрастающая на всей области определения $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
в) $y = x^2 - 4x + 3$
Исследование и построение графика:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Общая форма: Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх.
- Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$.
- Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, $E(y) = [-1; +\infty)$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1=1, x_2=3$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.
- С осью Oy: $x=0 \implies y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0; 3)$.
- Промежутки возрастания/убывания: Функция убывает на интервале $(-\infty; 2]$ и возрастает на интервале $[2; +\infty)$. Точка $(2, -1)$ является точкой минимума.
- Построение графика: Строим параболу, используя найденные ключевые точки: вершину $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 3)$ и симметричную ей точку $(4; 3)$ относительно оси симметрии $x=2$.
Ответ: Функция $y = x^2 - 4x + 3$ — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.
г) $y = 2 \cos x + 1$
Исследование и построение графика:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: Известно, что $-1 \le \cos x \le 1$. Умножив на 2, получим $-2 \le 2\cos x \le 2$. Прибавив 1, получим $-2+1 \le 2\cos x + 1 \le 2+1$, то есть $-1 \le y \le 3$. Таким образом, $E(y) = [-1; 3]$.
- Четность/нечетность: $y(-x) = 2\cos(-x) + 1 = 2\cos x + 1 = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
- Периодичность: Функция периодическая. Период совпадает с периодом $\cos x$ и равен $T = 2\pi$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью Ox: $y=0 \implies 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. Решения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- С осью Oy: $x=0 \implies y = 2\cos 0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$. Точка пересечения $(0; 3)$.
- Экстремумы:
- Точки максимума: $y_{max} = 3$ достигаются при $\cos x = 1$, т.е. при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Точки минимума: $y_{min} = -1$ достигаются при $\cos x = -1$, т.е. при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Построение графика: График функции $y = 2\cos x + 1$ получается из графика $y=\cos x$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy (амплитуда становится равной 2) и последующего сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.
Ответ: Функция $y = 2 \cos x + 1$ — четная, периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-1; 3]$. График — косинусоида, растянутая в 2 раза по вертикали и сдвинутая на 1 единицу вверх.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 95 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15 (с. 95), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.