Номер 15, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 15, страница 95.

Условие.

15. 1) Какие задачи решаются при исследовании функции?

2) Проведите исследование функции:

a) $y = \sin x - 2$;

б) $y = -\frac{6}{x-3}$;

в) $y = x^2 - 4x + 3$;

г) $y = 2 \cos x + 1$.

3) Постройте графики этих функций.

Решение 5.

1)

При полном исследовании функции обычно решаются следующие задачи:

• Нахождение области определения функции $D(y)$.
• Нахождение области (множества) значений функции $E(y)$.
• Проверка функции на четность и нечетность.
• Определение периодичности функции (если применимо).
• Нахождение точек пересечения графика с осями координат (нулей функции и пересечения с осью Oy).
• Нахождение промежутков знакопостоянства (интервалов, где $y > 0$ и $y < 0$).
• Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.
• Нахождение точек экстремума (максимума и минимума) и значений функции в этих точках.
• Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, горизонтальных, наклонных).

Результаты этого исследования позволяют детально представить поведение функции и построить ее график.

2) и 3)

Проведем исследование для каждой функции и на основе полученных данных опишем построение ее графика.

а) $y = \sin x - 2$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любого $x$.
2. Область значений: Известно, что $-1 \le \sin x \le 1$. Тогда $-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$, откуда следует, что $-3 \le y \le -1$. Таким образом, $E(y) = [-3; -1]$.
3. Четность/нечетность: $y(-x) = \sin(-x) - 2 = -\sin x - 2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
4. Периодичность: Функция периодическая. Ее период совпадает с периодом функции $\sin x$ и равен $T = 2\pi$.
5. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox: $y=0 \implies \sin x - 2 = 0 \implies \sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = \sin 0 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.
6. Экстремумы:
   • Точки максимума: $y_{max} = -1$ достигаются при $\sin x = 1$, т.е. при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
   • Точки минимума: $y_{min} = -3$ достигаются при $\sin x = -1$, т.е. при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Построение графика: График функции $y = \sin x - 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ (синусоиды) путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Ответ: Функция $y = \sin x - 2$ — периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-3; -1]$. График — синусоида, сдвинутая на 2 единицы вниз.

б) $y = -\frac{6}{x-3}$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю: $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Область значений: Дробь не может быть равна нулю, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты:
   • Вертикальная асимптота: $x=3$ (где знаменатель обращается в нуль).
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (-\frac{6}{x-3}) = 0$.
4. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox: $y=0$. Уравнение $-\frac{6}{x-3}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = -\frac{6}{0-3} = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
5. Промежутки возрастания/убывания: Найдем производную: $y' = (-\frac{6}{x-3})' = (-6(x-3)^{-1})' = 6(x-3)^{-2} = \frac{6}{(x-3)^2}$. Так как $(x-3)^2 > 0$ на всей области определения, то $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Экстремумов нет.
6. Построение графика: График функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = -6/x$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=3$ и $y=0$.

Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-3}$ — гипербола с асимптотами $x=3, y=0$, возрастающая на всей области определения $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = x^2 - 4x + 3$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Общая форма: Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$.
4. Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, $E(y) = [-1; +\infty)$.
5. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1=1, x_2=3$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0; 3)$.
6. Промежутки возрастания/убывания: Функция убывает на интервале $(-\infty; 2]$ и возрастает на интервале $[2; +\infty)$. Точка $(2, -1)$ является точкой минимума.
7. Построение графика: Строим параболу, используя найденные ключевые точки: вершину $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 3)$ и симметричную ей точку $(4; 3)$ относительно оси симметрии $x=2$.

Ответ: Функция $y = x^2 - 4x + 3$ — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.

г) $y = 2 \cos x + 1$

Исследование и построение графика:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Известно, что $-1 \le \cos x \le 1$. Умножив на 2, получим $-2 \le 2\cos x \le 2$. Прибавив 1, получим $-2+1 \le 2\cos x + 1 \le 2+1$, то есть $-1 \le y \le 3$. Таким образом, $E(y) = [-1; 3]$.
3. Четность/нечетность: $y(-x) = 2\cos(-x) + 1 = 2\cos x + 1 = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
4. Периодичность: Функция периодическая. Период совпадает с периодом $\cos x$ и равен $T = 2\pi$.
5. Точки пересечения с осями:
   • С осью Ox: $y=0 \implies 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. Решения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
   • С осью Oy: $x=0 \implies y = 2\cos 0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$. Точка пересечения $(0; 3)$.
6. Экстремумы:
   • Точки максимума: $y_{max} = 3$ достигаются при $\cos x = 1$, т.е. при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
   • Точки минимума: $y_{min} = -1$ достигаются при $\cos x = -1$, т.е. при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Построение графика: График функции $y = 2\cos x + 1$ получается из графика $y=\cos x$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy (амплитуда становится равной 2) и последующего сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ответ: Функция $y = 2 \cos x + 1$ — четная, периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-1; 3]$. График — косинусоида, растянутая в 2 раза по вертикали и сдвинутая на 1 единицу вверх.