Номер 15, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 15, страница 95.

№15 (с. 95)
Условие. №15 (с. 95)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 95, номер 15, Условие

15. 1) Какие задачи решаются при исследовании функции?

2) Проведите исследование функции:

a) $y = \sin x - 2$;

б) $y = -\frac{6}{x-3}$;

в) $y = x^2 - 4x + 3$;

г) $y = 2 \cos x + 1$.

3) Постройте графики этих функций.

Решение 5. №15 (с. 95)

1)

При полном исследовании функции обычно решаются следующие задачи:

  • Нахождение области определения функции $D(y)$.
  • Нахождение области (множества) значений функции $E(y)$.
  • Проверка функции на четность и нечетность.
  • Определение периодичности функции (если применимо).
  • Нахождение точек пересечения графика с осями координат (нулей функции и пересечения с осью Oy).
  • Нахождение промежутков знакопостоянства (интервалов, где $y > 0$ и $y < 0$).
  • Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.
  • Нахождение точек экстремума (максимума и минимума) и значений функции в этих точках.
  • Нахождение асимптот графика функции (вертикальных, горизонтальных, наклонных).

Результаты этого исследования позволяют детально представить поведение функции и построить ее график.

2) и 3)

Проведем исследование для каждой функции и на основе полученных данных опишем построение ее графика.

а) $y = \sin x - 2$

Исследование и построение графика:

  1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение определено для любого $x$.
  2. Область значений: Известно, что $-1 \le \sin x \le 1$. Тогда $-1 - 2 \le \sin x - 2 \le 1 - 2$, откуда следует, что $-3 \le y \le -1$. Таким образом, $E(y) = [-3; -1]$.
  3. Четность/нечетность: $y(-x) = \sin(-x) - 2 = -\sin x - 2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).
  4. Периодичность: Функция периодическая. Ее период совпадает с периодом функции $\sin x$ и равен $T = 2\pi$.
  5. Точки пересечения с осями:
    • С осью Ox: $y=0 \implies \sin x - 2 = 0 \implies \sin x = 2$. Это уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
    • С осью Oy: $x=0 \implies y = \sin 0 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.
  6. Экстремумы:
    • Точки максимума: $y_{max} = -1$ достигаются при $\sin x = 1$, т.е. при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
    • Точки минимума: $y_{min} = -3$ достигаются при $\sin x = -1$, т.е. при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  7. Построение графика: График функции $y = \sin x - 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ (синусоиды) путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Ответ: Функция $y = \sin x - 2$ — периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-3; -1]$. График — синусоида, сдвинутая на 2 единицы вниз.

б) $y = -\frac{6}{x-3}$

Исследование и построение графика:

  1. Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю: $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
  2. Область значений: Дробь не может быть равна нулю, $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
  3. Асимптоты:
    • Вертикальная асимптота: $x=3$ (где знаменатель обращается в нуль).
    • Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (-\frac{6}{x-3}) = 0$.
  4. Точки пересечения с осями:
    • С осью Ox: $y=0$. Уравнение $-\frac{6}{x-3}=0$ не имеет решений. График не пересекает ось Ox.
    • С осью Oy: $x=0 \implies y = -\frac{6}{0-3} = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
  5. Промежутки возрастания/убывания: Найдем производную: $y' = (-\frac{6}{x-3})' = (-6(x-3)^{-1})' = 6(x-3)^{-2} = \frac{6}{(x-3)^2}$. Так как $(x-3)^2 > 0$ на всей области определения, то $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Экстремумов нет.
  6. Построение графика: График функции — гипербола. Его можно получить из графика $y = -6/x$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=3$ и $y=0$.

Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-3}$ — гипербола с асимптотами $x=3, y=0$, возрастающая на всей области определения $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = x^2 - 4x + 3$

Исследование и построение графика:

  1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  2. Общая форма: Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх.
  3. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0; y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$.
  4. Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, $E(y) = [-1; +\infty)$.
  5. Точки пересечения с осями:
    • С осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1=1, x_2=3$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(3; 0)$.
    • С осью Oy: $x=0 \implies y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения: $(0; 3)$.
  6. Промежутки возрастания/убывания: Функция убывает на интервале $(-\infty; 2]$ и возрастает на интервале $[2; +\infty)$. Точка $(2, -1)$ является точкой минимума.
  7. Построение графика: Строим параболу, используя найденные ключевые точки: вершину $(2, -1)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 3)$ и симметричную ей точку $(4; 3)$ относительно оси симметрии $x=2$.

Ответ: Функция $y = x^2 - 4x + 3$ — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.

г) $y = 2 \cos x + 1$

Исследование и построение графика:

  1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
  2. Область значений: Известно, что $-1 \le \cos x \le 1$. Умножив на 2, получим $-2 \le 2\cos x \le 2$. Прибавив 1, получим $-2+1 \le 2\cos x + 1 \le 2+1$, то есть $-1 \le y \le 3$. Таким образом, $E(y) = [-1; 3]$.
  3. Четность/нечетность: $y(-x) = 2\cos(-x) + 1 = 2\cos x + 1 = y(x)$. Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.
  4. Периодичность: Функция периодическая. Период совпадает с периодом $\cos x$ и равен $T = 2\pi$.
  5. Точки пересечения с осями:
    • С осью Ox: $y=0 \implies 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. Решения: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
    • С осью Oy: $x=0 \implies y = 2\cos 0 + 1 = 2(1) + 1 = 3$. Точка пересечения $(0; 3)$.
  6. Экстремумы:
    • Точки максимума: $y_{max} = 3$ достигаются при $\cos x = 1$, т.е. при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
    • Точки минимума: $y_{min} = -1$ достигаются при $\cos x = -1$, т.е. при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  7. Построение графика: График функции $y = 2\cos x + 1$ получается из графика $y=\cos x$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy (амплитуда становится равной 2) и последующего сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ответ: Функция $y = 2 \cos x + 1$ — четная, периодическая с периодом $2\pi$, область значений $E(y) = [-1; 3]$. График — косинусоида, растянутая в 2 раза по вертикали и сдвинутая на 1 единицу вверх.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 95 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15 (с. 95), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.