Номер 17, страница 95 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 17, страница 95.

Условие.

17. 1) Что такое периодическая функция, период функции?

2) Какой наименьший положительный период имеет функция:
а) $y = \cos x$; б) $y = \operatorname{tg} x$; в) $y = \sin x$; г) $y = \operatorname{ctg} x$?

3) Найдите наименьший положительный период функции:
а) $y = \sin \frac{x}{2}$; б) $y = \cos (4x + 1)$; в) $y = \operatorname{tg} 2x$; г) $y = \cos \frac{x}{3}$.

Решение 5.

1) Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции ($x \in D(f)$) числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения и выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Число $T$ называется периодом функции. Любое число, кратное периоду ($nT$, где $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом функции. Наименьший положительный период функции, если он существует, называется основным (или главным) периодом.

2)

а) Функция $y = \cos x$. Наименьший положительный период косинуса является стандартной величиной в тригонометрии.
Ответ: $2\pi$.

б) Функция $y = \text{tg} x$. Наименьший положительный период тангенса.
Ответ: $\pi$.

в) Функция $y = \sin x$. Наименьший положительный период синуса.
Ответ: $2\pi$.

г) Функция $y = \text{ctg} x$. Наименьший положительный период котангенса.
Ответ: $\pi$.

3) Для нахождения наименьшего положительного периода $T$ функции, заданной формулой вида $y = A \cdot f(kx+b)+C$, где $f(x)$ - периодическая функция с основным периодом $T_0$, используется формула: $T = \frac{T_0}{|k|}$.

а) $y = \sin\frac{x}{2}$
Базовая функция — $y = \sin x$, её основной период $T_0 = 2\pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

б) $y = \cos(4x+1)$
Базовая функция — $y = \cos x$, её основной период $T_0 = 2\pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = 4$. Сдвиг на 1 не влияет на период.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) $y = \text{tg} 2x$
Базовая функция — $y = \text{tg} x$, её основной период $T_0 = \pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = 2$.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $y = \cos\frac{x}{3}$
Базовая функция — $y = \cos x$, её основной период $T_0 = 2\pi$.
В данной функции коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{3}$.
Следовательно, наименьший положительный период: $T = \frac{T_0}{|k|} = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 6\pi$.
Ответ: $6\pi$.