Номер 20, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 20, страница 96.

Условие.

20. 1) Перечислите основные свойства функции тангенс.

2) Пользуясь свойствами функции тангенс, расположите в порядке возрастания числа:

а) tg (-0,4), tg 1,2, tg 0,8;

б) tg 2,8, tg 3,9, tg 1,6;

в) tg 0,6, tg (-1,3), tg (-0,7);

г) tg 4,3, tg 1,7, tg 2,5.

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = -\text{tg } x$;

б) $y = \text{tg } \frac{x}{2}$;

в) $y = 2 \text{ tg } x$;

г) $y = \text{tg } \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение 5.

1)

Основные свойства функции $y = \tg x$:

• Область определения: Множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Записывается как $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
• Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Записывается как $E(y) = \mathbb{R}$.
• Периодичность: Функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$. То есть, $\tg(x + \pi) = \tg x$ для любого $x$ из области определения.
• Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\tg(-x) = -\tg x$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Функция обращается в ноль при тех значениях аргумента, при которых синус равен нулю. Это точки вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (I и III координатные четверти).
  • $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (II и IV координатные четверти).
• Монотонность: Функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: График функции имеет вертикальные асимптоты. Это прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Основные свойства функции тангенс, включая область определения, область значений, периодичность, четность, нули, знакопостоянство, монотонность и асимптоты, перечислены выше.

2)

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойством монотонности функции тангенса. Функция $y=\tg x$ возрастает на каждом интервале вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

а)

Аргументы $-0,4$, $1,2$ и $0,8$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$, на котором функция $\tg x$ возрастает. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,4 < 0,8 < 1,2$. Следовательно, значения тангенсов также располагаются в порядке возрастания.

Ответ: $\tg(-0,4), \tg(0,8), \tg(1,2)$.

б)

Аргументы $2,8$, $3,9$, $1,6$. Рассмотрим интервал возрастания $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \approx (1,57; 4,71)$. Все три аргумента $1,6$, $2,8$ и $3,9$ принадлежат этому интервалу. Так как на этом интервале функция $\tg x$ возрастает, а $1,6 < 2,8 < 3,9$, то и значения тангенсов будут в том же порядке.

Ответ: $\tg(1,6), \tg(2,8), \tg(3,9)$.

в)

Аргументы $0,6$, $-1,3$, $-0,7$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$, на котором функция $\tg x$ возрастает. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-1,3 < -0,7 < 0,6$. Значит, значения тангенсов также располагаются в этом порядке.

Ответ: $\tg(-1,3), \tg(-0,7), \tg(0,6)$.

г)

Аргументы $4,3$, $1,7$, $2,5$. Все три аргумента принадлежат интервалу возрастания $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \approx (1,57; 4,71)$. Поскольку $1,7 < 2,5 < 4,3$, и на этом интервале функция $\tg x$ возрастает, то значения тангенсов располагаются в том же порядке. Для проверки: $1,7$ и $2,5$ лежат в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, где тангенс отрицателен, а $4,3$ лежит в интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, где тангенс положителен, поэтому $\tg(4,3)$ — наибольшее число. Так как $1,7 < 2,5$, то $\tg(1,7) < \tg(2,5)$.

Ответ: $\tg(1,7), \tg(2,5), \tg(4,3)$.

3) а) $y = -\tg x$

Исследование функции:

• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T=\pi$.
• Четность: нечетная, так как $y(-x) = -\tg(-x) = \tg x = -(-\tg x) = -y(x)$.
• Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция убывает на каждом интервале определения.

Построение графика: График функции $y = -\tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Каждая возрастающая ветвь тангенса превращается в убывающую.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

б) $y = \tg \frac{x}{2}$

Исследование функции:

• Область определения: $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
• Четность: нечетная, $y(-x) = \tg(-\frac{x}{2}) = -\tg \frac{x}{2} = -y(x)$.
• Нули функции: $\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$.

Построение графика: График функции $y = \tg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период увеличивается до $2\pi$, асимптоты находятся в точках $x = \pm \pi, \pm 3\pi, \ldots$.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

в) $y = 2 \tg x$

Исследование функции:

• Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T=\pi$.
• Четность: нечетная, $y(-x) = 2\tg(-x) = -2\tg x = -y(x)$.
• Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения.

Построение графика: График функции $y = 2 \tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. График становится "круче", то есть растет быстрее. Нули и асимптоты не изменяются.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

г) $y = \tg \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Исследование функции:

• Область определения: $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T=\pi$.
• Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
• Нули функции: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$.

Построение графика: График функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \tg x$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Центры симметрии ветвей теперь находятся в точках $(\frac{\pi}{4} + \pi k, 0)$, а асимптоты сместились в $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.