Номер 20, страница 96 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 20, страница 96.

№20 (с. 96)
Условие. №20 (с. 96)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 96, номер 20, Условие

20. 1) Перечислите основные свойства функции тангенс.

2) Пользуясь свойствами функции тангенс, расположите в порядке возрастания числа:

а) tg (-0,4), tg 1,2, tg 0,8;

б) tg 2,8, tg 3,9, tg 1,6;

в) tg 0,6, tg (-1,3), tg (-0,7);

г) tg 4,3, tg 1,7, tg 2,5.

3) Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = -\text{tg } x$;

б) $y = \text{tg } \frac{x}{2}$;

в) $y = 2 \text{ tg } x$;

г) $y = \text{tg } \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение 5. №20 (с. 96)
1)

Основные свойства функции $y = \tg x$:

  • Область определения: Множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Записывается как $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
  • Область значений: Множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Записывается как $E(y) = \mathbb{R}$.
  • Периодичность: Функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$. То есть, $\tg(x + \pi) = \tg x$ для любого $x$ из области определения.
  • Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\tg(-x) = -\tg x$. График функции симметричен относительно начала координат.
  • Нули функции: Функция обращается в ноль при тех значениях аргумента, при которых синус равен нулю. Это точки вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
  • Промежутки знакопостоянства:
    • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (I и III координатные четверти).
    • $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$ (II и IV координатные четверти).
  • Монотонность: Функция является возрастающей на каждом интервале своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Асимптоты: График функции имеет вертикальные асимптоты. Это прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Основные свойства функции тангенс, включая область определения, область значений, периодичность, четность, нули, знакопостоянство, монотонность и асимптоты, перечислены выше.

2)

Для расположения чисел в порядке возрастания воспользуемся свойством монотонности функции тангенса. Функция $y=\tg x$ возрастает на каждом интервале вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.

а)

Аргументы $-0,4$, $1,2$ и $0,8$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$, на котором функция $\tg x$ возрастает. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-0,4 < 0,8 < 1,2$. Следовательно, значения тангенсов также располагаются в порядке возрастания.

Ответ: $\tg(-0,4), \tg(0,8), \tg(1,2)$.

б)

Аргументы $2,8$, $3,9$, $1,6$. Рассмотрим интервал возрастания $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \approx (1,57; 4,71)$. Все три аргумента $1,6$, $2,8$ и $3,9$ принадлежат этому интервалу. Так как на этом интервале функция $\tg x$ возрастает, а $1,6 < 2,8 < 3,9$, то и значения тангенсов будут в том же порядке.

Ответ: $\tg(1,6), \tg(2,8), \tg(3,9)$.

в)

Аргументы $0,6$, $-1,3$, $-0,7$ принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \approx (-1,57; 1,57)$, на котором функция $\tg x$ возрастает. Расположим аргументы в порядке возрастания: $-1,3 < -0,7 < 0,6$. Значит, значения тангенсов также располагаются в этом порядке.

Ответ: $\tg(-1,3), \tg(-0,7), \tg(0,6)$.

г)

Аргументы $4,3$, $1,7$, $2,5$. Все три аргумента принадлежат интервалу возрастания $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \approx (1,57; 4,71)$. Поскольку $1,7 < 2,5 < 4,3$, и на этом интервале функция $\tg x$ возрастает, то значения тангенсов располагаются в том же порядке. Для проверки: $1,7$ и $2,5$ лежат в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, где тангенс отрицателен, а $4,3$ лежит в интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, где тангенс положителен, поэтому $\tg(4,3)$ — наибольшее число. Так как $1,7 < 2,5$, то $\tg(1,7) < \tg(2,5)$.

Ответ: $\tg(1,7), \tg(2,5), \tg(4,3)$.

3) а) $y = -\tg x$

Исследование функции:

  • Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
  • Период: $T=\pi$.
  • Четность: нечетная, так как $y(-x) = -\tg(-x) = \tg x = -(-\tg x) = -y(x)$.
  • Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Монотонность: функция убывает на каждом интервале определения.

Построение графика: График функции $y = -\tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Каждая возрастающая ветвь тангенса превращается в убывающую.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

б) $y = \tg \frac{x}{2}$

Исследование функции:

  • Область определения: $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
  • Период: $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.
  • Четность: нечетная, $y(-x) = \tg(-\frac{x}{2}) = -\tg \frac{x}{2} = -y(x)$.
  • Нули функции: $\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Асимптоты: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$.

Построение графика: График функции $y = \tg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси Ox в 2 раза. Период увеличивается до $2\pi$, асимптоты находятся в точках $x = \pm \pi, \pm 3\pi, \ldots$.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

в) $y = 2 \tg x$

Исследование функции:

  • Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
  • Период: $T=\pi$.
  • Четность: нечетная, $y(-x) = 2\tg(-x) = -2\tg x = -y(x)$.
  • Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения.

Построение графика: График функции $y = 2 \tg x$ получается из графика $y = \tg x$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. График становится "круче", то есть растет быстрее. Нули и асимптоты не изменяются.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

г) $y = \tg \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Исследование функции:

  • Область определения: $x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
  • Период: $T=\pi$.
  • Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
  • Нули функции: $x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  • Монотонность: функция возрастает на каждом интервале определения $(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k)$.

Построение графика: График функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \tg x$ путем сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Центры симметрии ветвей теперь находятся в точках $(\frac{\pi}{4} + \pi k, 0)$, а асимптоты сместились в $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$.

Ответ: Свойства функции исследованы, а способ построения графика описан выше.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 20 расположенного на странице 96 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20 (с. 96), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.