Номер 13, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 13, страница 94.

Условие.

13. 1) Сформулируйте определение функции, возрастающей (убывающей) на множестве $P$.

2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79.

3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = 1 + 0,5 \cos x$; б) $y = -\frac{3}{x-1}$;

в) $y = 2x^2 + 4x$; г) $y = 1,5 \sin x - 1$.

Решение 5.

1) Сформулируйте определение функции, возрастающей (убывающей) на множестве P.

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на множестве $P$, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из множества $P$, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция $y = f(x)$ называется убывающей на множестве $P$, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из множества $P$, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: Функция $f(x)$ называется возрастающей на множестве $P$, если для любых $x_1, x_2 \in P$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) > f(x_1)$. Функция $f(x)$ называется убывающей на множестве $P$, если для любых $x_1, x_2 \in P$ из условия $x_2 > x_1$ следует $f(x_2) < f(x_1)$.

2) Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображен на рисунке 79.

В условии задачи не представлен рисунок 79. Общий подход к определению промежутков монотонности по графику функции следующий:
1. Находят интервалы по оси абсцисс ($Ox$), на которых график функции "поднимается" при движении слева направо. На этих интервалах функция возрастает.
2. Находят интервалы по оси абсцисс ($Ox$), на которых график функции "опускается" при движении слева направо. На этих интервалах функция убывает.
Точки, в которых направление движения графика меняется (точки экстремумов), являются границами промежутков возрастания и убывания.

Ответ: Рисунок 79 не предоставлен.

3) Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

Для нахождения промежутков монотонности функции используется ее производная. Если производная $y' > 0$ на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Если $y' < 0$, то функция убывает. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими и являются границами промежутков монотонности.

а) $y = 1 + 0,5 \cos x$

1. Найдем производную функции:
$y' = (1 + 0,5 \cos x)' = -0,5 \sin x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-0,5 \sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Определим знаки производной на интервалах.
Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $-0,5 \sin x > 0$, что равносильно $\sin x < 0$. Это выполняется на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$.
Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $-0,5 \sin x < 0$, что равносильно $\sin x > 0$. Это выполняется на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$.
Включая границы промежутков, получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\frac{3}{x-1}$

1. Область определения функции: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
2. Найдем производную: $y' = \left(-\frac{3}{x-1}\right)' = (-3(x-1)^{-1})' = -3 \cdot (-1)(x-1)^{-2} = \frac{3}{(x-1)^2}$.
3. Определим знак производной. Так как числитель $3 > 0$ и знаменатель $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$ при всех $x \neq 1$.
Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$; промежутков убывания нет.

в) $y = 2x^2 + 4x$

1. Найдем производную функции:
$y' = (2x^2 + 4x)' = 4x + 4$.
2. Найдем критические точки: $y' = 0 \implies 4x + 4 = 0 \implies x = -1$.
3. Определим знаки производной:
При $x > -1$, $y' = 4x+4 > 0$, значит, функция возрастает.
При $x < -1$, $y' = 4x+4 < 0$, значит, функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

г) $y = 1,5 \sin x - 1$

1. Найдем производную функции:
$y' = (1,5 \sin x - 1)' = 1,5 \cos x$.
2. Найдем критические точки: $y' = 0 \implies 1,5 \cos x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Определим знаки производной.
Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $1,5 \cos x > 0$, что равносильно $\cos x > 0$. Это выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$.
Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $1,5 \cos x < 0$, что равносильно $\cos x < 0$. Это выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$.
Включая границы промежутков, получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.