Номер 8, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 8, страница 93.

Условие.

8. 1) Запишите формулы двойного аргумента.

2) Вычислите:

а) $sin 2\alpha$, если $cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $tg 2\alpha$, если $sin \alpha = \frac{12}{13}$, $cos \alpha < 0$;

в) $cos 2\alpha$, если $sin \alpha = \frac{15}{17}$;

г) $tg 2\alpha$, если $cos \alpha = \frac{3}{5}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} (2 cos^2 \alpha - 1) = sin 2\alpha$;

б) $\frac{1 - cos 2\alpha + sin 2\alpha}{1 + cos 2\alpha + sin 2\alpha} = tg \alpha$;

в) $1 - (cos \alpha - sin \alpha)^2 = sin 2\alpha$;

г) $tg \alpha (1 + cos 2\alpha) = sin 2\alpha$.

Решение 5.

1) Запишите формулы двойного аргумента.

Формула синуса двойного угла:
$sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$

Формулы косинуса двойного угла:
$cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$
$cos 2\alpha = 2 cos^2 \alpha - 1$
$cos 2\alpha = 1 - 2 sin^2 \alpha$

Формула тангенса двойного угла:
$tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$

2) Вычислите:

а) Дано: $cos \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
Требуется найти $sin 2\alpha$. Используем формулу $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
Сначала найдем $sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
Отсюда $sin \alpha = \pm\frac{3}{5}$.
Поскольку угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), его синус отрицателен: $sin \alpha = -\frac{3}{5}$.
Теперь можем вычислить $sin 2\alpha$:
$sin 2\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.

б) Дано: $sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $cos \alpha < 0$.
Требуется найти $tg 2\alpha$. Используем формулу $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$.
Сначала найдем $cos \alpha$ и $tg \alpha$.
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.
Отсюда $cos \alpha = \pm\frac{5}{13}$. По условию $cos \alpha < 0$, значит $cos \alpha = -\frac{5}{13}$.
Теперь найдем $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.
Вычислим $tg 2\alpha$:
$tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{12}{5})}{1 - (-\frac{12}{5})^2} = \frac{-\frac{24}{5}}{1 - \frac{144}{25}} = \frac{-\frac{24}{5}}{\frac{25-144}{25}} = \frac{-\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{119} = \frac{24 \cdot 5}{119} = \frac{120}{119}$.
Ответ: $\frac{120}{119}$.

в) Дано: $sin \alpha = \frac{15}{17}$.
Требуется найти $cos 2\alpha$. Удобно использовать формулу $cos 2\alpha = 1 - 2 sin^2 \alpha$.
$cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{15}{17})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{225}{289} = 1 - \frac{450}{289} = \frac{289 - 450}{289} = -\frac{161}{289}$.
Ответ: $-\frac{161}{289}$.

г) Дано: $cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
Требуется найти $tg 2\alpha$. Используем формулу $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha}$.
Сначала найдем $sin \alpha$ и $tg \alpha$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Отсюда $sin \alpha = \pm\frac{4}{5}$.
Поскольку угол $\alpha$ принадлежит четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), его синус отрицателен: $sin \alpha = -\frac{4}{5}$.
Теперь найдем $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{3}$.
Вычислим $tg 2\alpha$:
$tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{4}{3})}{1 - (-\frac{4}{3})^2} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{8 \cdot 3}{7} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $\frac{24}{7}$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} (2 cos^2 \alpha - 1) = sin 2\alpha$
Преобразуем левую часть. Используем формулы двойного угла для тангенса и косинуса:
$\frac{2 tg \alpha}{1 - tg^2 \alpha} = tg 2\alpha$
$2 cos^2 \alpha - 1 = cos 2\alpha$
Подставим эти выражения в левую часть:
$tg 2\alpha \cdot cos 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} \cdot cos 2\alpha = sin 2\alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) $\frac{1 - cos 2\alpha + sin 2\alpha}{1 + cos 2\alpha + sin 2\alpha} = tg \alpha$
Преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла:
$1 - cos 2\alpha = 1 - (1 - 2 sin^2 \alpha) = 2 sin^2 \alpha$
$1 + cos 2\alpha = 1 + (2 cos^2 \alpha - 1) = 2 cos^2 \alpha$
$sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$
Подставим в числитель и знаменатель дроби:
$\frac{2 sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha}{2 cos^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha} = \frac{2 sin \alpha (sin \alpha + cos \alpha)}{2 cos \alpha (cos \alpha + sin \alpha)}$.
Сократив на $2(sin \alpha + cos \alpha)$, получим:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

в) $1 - (cos \alpha - sin \alpha)^2 = sin 2\alpha$
Раскроем скобки в левой части:
$1 - (cos^2 \alpha - 2 sin \alpha cos \alpha + sin^2 \alpha)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$:
$1 - (1 - sin 2\alpha) = 1 - 1 + sin 2\alpha = sin 2\alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) $tg \alpha (1 + cos 2\alpha) = sin 2\alpha$
Преобразуем левую часть. Заменим $tg \alpha$ на $\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ и используем формулу $cos 2\alpha = 2 cos^2 \alpha - 1$:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} (1 + (2 cos^2 \alpha - 1)) = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} (2 cos^2 \alpha)$.
Сократив $cos \alpha$, получим:
$sin \alpha \cdot 2 cos \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$.
По формуле синуса двойного угла $2 sin \alpha cos \alpha = sin 2\alpha$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.