Номер 2, страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 2, страница 91.

Условие.

2. 1) Дайте определение синуса и косинуса числа $\alpha$.

2) Отметьте на единичной окружности точку $P_\alpha$. Найдите значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ (не пользуясь калькулятором или таблицами), если $\alpha$ равно:

а) $\frac{\pi}{3}$; б) $-\frac{\pi}{4}$; в) $\frac{5\pi}{2}$; г) $-\frac{\pi}{6}$.

3) Найдите значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, если $\alpha$ равно:

а) $23^\circ24'$; б) $-1,7$; в) $-108^\circ6'$; г) $0,8$.

Решение 5.

1)

Рассмотрим в прямоугольной системе координат единичную окружность, то есть окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Начальная точка $P_0$ находится на окружности в положении (1,0). При повороте точки $P_0$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ мы получаем новую точку на окружности, которую обозначим $P_\alpha$. Положительным считается поворот против часовой стрелки, отрицательным — по часовой стрелке. Точка $P_\alpha$ будет иметь некоторые координаты $(x, y)$.

Синусом числа $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называется ордината (координата y) точки $P_\alpha$. Таким образом, $\sin \alpha = y$.

Косинусом числа $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называется абсцисса (координата x) точки $P_\alpha$. Таким образом, $\cos \alpha = x$.

Ответ: Синус числа $\alpha$ — это ордината точки, полученной поворотом точки (1,0) на угол $\alpha$ на единичной окружности. Косинус числа $\alpha$ — это абсцисса той же точки.

2)

а) $\alpha = \frac{\pi}{3}$

Точка $P_{\frac{\pi}{3}}$ получается поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{\pi}{3}$ радиан (60°) против часовой стрелки. Она расположена в первой координатной четверти. Координаты этой точки соответствуют известным табличным значениям синуса и косинуса.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, точка $P_{\frac{\pi}{3}}$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

б) $\alpha = -\frac{\pi}{4}$

Точка $P_{-\frac{\pi}{4}}$ получается поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{\pi}{4}$ радиан (45°) по часовой стрелке, так как угол отрицательный. Она расположена в четвертой координатной четверти. Для нахождения значений используем свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$).
$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, точка $P_{-\frac{\pi}{4}}$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\alpha = \frac{5\pi}{2}$

Угол $\frac{5\pi}{2}$ можно представить в виде $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Это соответствует одному полному обороту ($2\pi$) и дополнительному повороту на $\frac{\pi}{2}$ (90°) против часовой стрелки. Следовательно, точка $P_{\frac{5\pi}{2}}$ совпадает с точкой $P_{\frac{\pi}{2}}$, которая лежит на положительной полуоси OY.
$\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Таким образом, точка $P_{\frac{5\pi}{2}}$ имеет координаты $(0, 1)$.
Ответ: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$.

г) $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

Точка $P_{-\frac{\pi}{6}}$ получается поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{\pi}{6}$ радиан (30°) по часовой стрелке. Она расположена в четвертой координатной четверти.
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Таким образом, точка $P_{-\frac{\pi}{6}}$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3)

Для нахождения значений синуса и косинуса в этом задании необходимо использовать калькулятор.

а) $\alpha = 23^\circ24'$

Переведем минуты в десятичные доли градуса: $24' = \frac{24}{60}^\circ = 0.4^\circ$. Следовательно, $\alpha = 23.4^\circ$.
$\sin(23.4^\circ) \approx 0.3971$
$\cos(23.4^\circ) \approx 0.9177$
Ответ: $\sin(23^\circ24') \approx 0.3971$, $\cos(23^\circ24') \approx 0.9177$.

б) $\alpha = -1.7$

Угол задан в радианах (отсутствует знак градуса).
$\sin(-1.7) \approx -0.9917$
$\cos(-1.7) \approx -0.1288$
Ответ: $\sin(-1.7) \approx -0.9917$, $\cos(-1.7) \approx -0.1288$.

в) $\alpha = -108^\circ6'$

Переведем минуты в десятичные доли градуса: $6' = \frac{6}{60}^\circ = 0.1^\circ$. Следовательно, $\alpha = -108.1^\circ$.
$\sin(-108.1^\circ) \approx -0.9506$
$\cos(-108.1^\circ) \approx -0.3103$
Ответ: $\sin(-108^\circ6') \approx -0.9506$, $\cos(-108^\circ6') \approx -0.3103$.

г) $\alpha = 0.8$

Угол задан в радианах.
$\sin(0.8) \approx 0.7174$
$\cos(0.8) \approx 0.6967$
Ответ: $\sin(0.8) \approx 0.7174$, $\cos(0.8) \approx 0.6967$.