Страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

1. 1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связывающие радианную и градусную меры угла.

2) Выразите в радианной мере величину угла:

а) $18^\circ$; б) $-250^\circ$; в) $-360^\circ$; г) $225^\circ$.

3) Выразите в градусной мере величину угла:

а) $\pi$; б) $-2,5$; в) $-\frac{\pi}{3}$; г) 3.

1) Угол в 1 радиан — это центральный угол в окружности, у которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу этой окружности.

Связь между радианной и градусной мерой устанавливается через соотношение, что развернутый угол равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Из этого следуют формулы для перевода:

• Из градусов в радианы: если угол равен $\alpha$ градусов, то его радианная мера вычисляется как $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.
• Из радиан в градусы: если угол равен $\beta$ радиан, то его градусная мера вычисляется как $\beta^\circ = \beta_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

Ответ: Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Формулы связи: $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$ и $\alpha^\circ = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

2) Для перевода величины угла из градусной меры в радианную используем формулу: $\alpha_{рад} = \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

а) $18^\circ = 18 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{18\pi}{180} = \frac{\pi}{10}$

Ответ: $\frac{\pi}{10}$

б) $-250^\circ = -250 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{25\pi}{18}$

Ответ: $-\frac{25\pi}{18}$

в) $-360^\circ = -360 \cdot \frac{\pi}{180} = -2\pi$

Ответ: $-2\pi$

г) $225^\circ = 225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45 \cdot 5}{45 \cdot 4}\pi = \frac{5\pi}{4}$

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$

3) Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используем формулу: $\alpha^\circ = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

а) $\pi$ рад = $\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$

б) $-2,5$ рад = $-2,5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{450^\circ}{\pi}$

Ответ: $(-\frac{450}{\pi})^\circ$

в) $-\frac{\pi}{3}$ рад = $-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{3} = -60^\circ$

Ответ: $-60^\circ$

г) $3$ рад = $3 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{540^\circ}{\pi}$

Ответ: $(\frac{540}{\pi})^\circ$

2. 1) Дайте определение синуса и косинуса числа $\alpha$.

2) Отметьте на единичной окружности точку $P_\alpha$. Найдите значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ (не пользуясь калькулятором или таблицами), если $\alpha$ равно:

а) $\frac{\pi}{3}$; б) $-\frac{\pi}{4}$; в) $\frac{5\pi}{2}$; г) $-\frac{\pi}{6}$.

3) Найдите значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, если $\alpha$ равно:

а) $23^\circ24'$; б) $-1,7$; в) $-108^\circ6'$; г) $0,8$.

1)

Рассмотрим в прямоугольной системе координат единичную окружность, то есть окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом, равным 1. Начальная точка $P_0$ находится на окружности в положении (1,0). При повороте точки $P_0$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ мы получаем новую точку на окружности, которую обозначим $P_\alpha$. Положительным считается поворот против часовой стрелки, отрицательным — по часовой стрелке. Точка $P_\alpha$ будет иметь некоторые координаты $(x, y)$.

Синусом числа $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называется ордината (координата y) точки $P_\alpha$. Таким образом, $\sin \alpha = y$.

Косинусом числа $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называется абсцисса (координата x) точки $P_\alpha$. Таким образом, $\cos \alpha = x$.

Ответ: Синус числа $\alpha$ — это ордината точки, полученной поворотом точки (1,0) на угол $\alpha$ на единичной окружности. Косинус числа $\alpha$ — это абсцисса той же точки.

2)

а) $\alpha = \frac{\pi}{3}$

Точка $P_{\frac{\pi}{3}}$ получается поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{\pi}{3}$ радиан (60°) против часовой стрелки. Она расположена в первой координатной четверти. Координаты этой точки соответствуют известным табличным значениям синуса и косинуса.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, точка $P_{\frac{\pi}{3}}$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

б) $\alpha = -\frac{\pi}{4}$

Точка $P_{-\frac{\pi}{4}}$ получается поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{\pi}{4}$ радиан (45°) по часовой стрелке, так как угол отрицательный. Она расположена в четвертой координатной четверти. Для нахождения значений используем свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$).
$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, точка $P_{-\frac{\pi}{4}}$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $\alpha = \frac{5\pi}{2}$

Угол $\frac{5\pi}{2}$ можно представить в виде $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Это соответствует одному полному обороту ($2\pi$) и дополнительному повороту на $\frac{\pi}{2}$ (90°) против часовой стрелки. Следовательно, точка $P_{\frac{5\pi}{2}}$ совпадает с точкой $P_{\frac{\pi}{2}}$, которая лежит на положительной полуоси OY.
$\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Таким образом, точка $P_{\frac{5\pi}{2}}$ имеет координаты $(0, 1)$.
Ответ: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{5\pi}{2}) = 0$.

г) $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

Точка $P_{-\frac{\pi}{6}}$ получается поворотом точки $P_0(1,0)$ на угол $\frac{\pi}{6}$ радиан (30°) по часовой стрелке. Она расположена в четвертой координатной четверти.
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Таким образом, точка $P_{-\frac{\pi}{6}}$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3)

Для нахождения значений синуса и косинуса в этом задании необходимо использовать калькулятор.

а) $\alpha = 23^\circ24'$

Переведем минуты в десятичные доли градуса: $24' = \frac{24}{60}^\circ = 0.4^\circ$. Следовательно, $\alpha = 23.4^\circ$.
$\sin(23.4^\circ) \approx 0.3971$
$\cos(23.4^\circ) \approx 0.9177$
Ответ: $\sin(23^\circ24') \approx 0.3971$, $\cos(23^\circ24') \approx 0.9177$.

б) $\alpha = -1.7$

Угол задан в радианах (отсутствует знак градуса).
$\sin(-1.7) \approx -0.9917$
$\cos(-1.7) \approx -0.1288$
Ответ: $\sin(-1.7) \approx -0.9917$, $\cos(-1.7) \approx -0.1288$.

в) $\alpha = -108^\circ6'$

Переведем минуты в десятичные доли градуса: $6' = \frac{6}{60}^\circ = 0.1^\circ$. Следовательно, $\alpha = -108.1^\circ$.
$\sin(-108.1^\circ) \approx -0.9506$
$\cos(-108.1^\circ) \approx -0.3103$
Ответ: $\sin(-108^\circ6') \approx -0.9506$, $\cos(-108^\circ6') \approx -0.3103$.

г) $\alpha = 0.8$

Угол задан в радианах.
$\sin(0.8) \approx 0.7174$
$\cos(0.8) \approx 0.6967$
Ответ: $\sin(0.8) \approx 0.7174$, $\cos(0.8) \approx 0.6967$.

3. 1) Дайте определения тангенса и котангенса числа $ \alpha $. При каких значениях $ \alpha $ определены $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $?

2) Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами) $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \alpha $ равно:

а) $ \frac{\pi}{6} $;

б) $ -\frac{13\pi}{4} $;

в) $ -\frac{7\pi}{6} $;

г) $ \frac{\pi}{3} $.

3) Найдите значения $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \alpha $ равно:

а) 1,7;

б) -0,4;

в) 2,3;

г) -0,5.

1) Тангенсом числа (угла) $\alpha$ называется отношение синуса этого числа к его косинусу. Формула для вычисления тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Котангенсом числа (угла) $\alpha$ называется отношение косинуса этого числа к его синусу. Формула для вычисления котангенса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Функция тангенс, $\tg \alpha$, определена для всех значений $\alpha$, для которых знаменатель $\cos \alpha$ не обращается в ноль. Это условие выполняется, когда $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Функция котангенс, $\ctg \alpha$, определена для всех значений $\alpha$, для которых знаменатель $\sin \alpha$ не обращается в ноль. Это условие выполняется, когда $\alpha \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

2)

а) Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\ctg \frac{\pi}{6} = \frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

б) Для $\alpha = -\frac{13\pi}{4}$:
Используем свойство нечетности тангенса и котангенса: $\tg(-\alpha) = -\tg(\alpha)$ и $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\tg(-\frac{13\pi}{4}) = -\tg(\frac{13\pi}{4})$.
Так как период тангенса равен $\pi$, мы можем упростить угол:
$\frac{13\pi}{4} = \frac{12\pi + \pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\tg(\frac{13\pi}{4}) = \tg(3\pi + \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\tg(-\frac{13\pi}{4}) = -1$.
Котангенс является обратной функцией к тангенсу, поэтому:
$\ctg(-\frac{13\pi}{4}) = \frac{1}{\tg(-\frac{13\pi}{4})} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $\tg(-\frac{13\pi}{4}) = -1$, $\ctg(-\frac{13\pi}{4}) = -1$.

в) Для $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$:
$\tg(-\frac{7\pi}{6}) = -\tg(\frac{7\pi}{6})$.
Упростим угол, используя периодичность тангенса:
$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$.
$\tg(\frac{7\pi}{6}) = \tg(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $\tg(-\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\ctg(-\frac{7\pi}{6}) = \frac{1}{\tg(-\frac{7\pi}{6})} = \frac{1}{-\sqrt{3}/3} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\tg(-\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\ctg(-\frac{7\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

г) Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$:
$\tg \frac{\pi}{3} = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
$\ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Для нахождения значений тангенса и котангенса для данных углов, выраженных в радианах в виде десятичных дробей, необходимо использовать калькулятор. Результаты округлены до четырех знаков после запятой.

а) Для $\alpha = 1,7$:
$\tg(1,7) \approx -7,6966$.
$\ctg(1,7) = \frac{1}{\tg(1,7)} \approx \frac{1}{-7,6966} \approx -0,1300$.
Ответ: $\tg(1,7) \approx -7,6966$, $\ctg(1,7) \approx -0,1300$.

б) Для $\alpha = -0,4$:
$\tg(-0,4) \approx -0,4228$.
$\ctg(-0,4) = \frac{1}{\tg(-0,4)} \approx \frac{1}{-0,4228} \approx -2,3652$.
Ответ: $\tg(-0,4) \approx -0,4228$, $\ctg(-0,4) \approx -2,3652$.

в) Для $\alpha = 2,3$:
$\tg(2,3) \approx -1,1192$.
$\ctg(2,3) = \frac{1}{\tg(2,3)} \approx \frac{1}{-1,1192} \approx -0,8935$.
Ответ: $\tg(2,3) \approx -1,1192$, $\ctg(2,3) \approx -0,8935$.

г) Для $\alpha = -0,5$:
$\tg(-0,5) \approx -0,5463$.
$\ctg(-0,5) = \frac{1}{\tg(-0,5)} \approx \frac{1}{-0,5463} \approx -1,8305$.
Ответ: $\tg(-0,5) \approx -0,5463$, $\ctg(-0,5) \approx -1,8305$.

4. 1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента.

2) Упростите выражение:

a) $ (tg \alpha + ctg \alpha) (1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha) $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos \alpha} $;

в) $ \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{1}{1 + ctg^2 \alpha} $;

г) $ \sin^3 \alpha (1 + ctg \alpha) + \cos^3 \alpha (1 + tg \alpha) $.

3) Докажите тождество:

a) $ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} $;

б) $ \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - ctg \alpha} = 2 tg^2 \alpha $;

в) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

г) $ tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

1) Основные формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента $\alpha$:

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• Определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
• Связь тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$
• Следствия из основного тождества: $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

2) Упростите выражение:

а) $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) (1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha)$
Сначала применяем формулу разности квадратов к произведению последних двух скобок: $(1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Затем преобразуем первую скобку, выражая тангенс и котангенс через синус и косинус и приводя к общему знаменателю:
$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.

б) $\frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$
Разделим каждую дробь на два слагаемых:
$(\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha}{\sin \alpha}) + (\frac{\cos^3 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}) = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 + \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha$:
$1 + \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Применим формулу разности квадратов к числителю $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Выражение принимает вид: $1 + \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 + \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $1 + \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha$.

в) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$
Используем известные тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставляем их в исходное выражение:
$\frac{1}{1/\cos^2 \alpha} + \frac{1}{1/\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, сумма равна 1.
Ответ: $1$.

г) $\sin^3 \alpha (1 + \operatorname{ctg} \alpha) + \cos^3 \alpha (1 + \operatorname{tg} \alpha)$
Заменим котангенс и тангенс через синус и косинус:
$\sin^3 \alpha (1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) + \cos^3 \alpha (1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$\sin^3 \alpha (\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}) + \cos^3 \alpha (\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Сократим дроби:
$\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Вынесем общий множитель $(\sin \alpha + \cos \alpha)$ за скобки:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 \cdot (\sin \alpha + \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha + \cos \alpha$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}$
Для доказательства тождества можно воспользоваться методом перекрестного умножения. Равенство является верным, если $\cos \alpha \cdot \cos \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$.
Левая часть: $\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha$.
Правая часть: $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Так как обе части равны $\cos^2 \alpha$, тождество верно.
Что и требовалось доказать.

б) $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = 2 \operatorname{tg}^2 \alpha$
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части.
Числитель: $1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - ((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = -2\sin \alpha \cos \alpha$.
Знаменатель: $\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha = \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha(\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}$. Так как $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, знаменатель равен $\frac{\cos \alpha(-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-2\sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\operatorname{tg}^2 \alpha$.
Левая часть равна правой.
Что и требовалось доказать.

в) $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$
Воспользуемся перекрестным умножением. Равенство верно, если $\sin \alpha \cdot \sin \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
Левая часть: $\sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha$.
Правая часть: $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Обе части равны $\sin^2 \alpha$, тождество доказано.
Что и требовалось доказать.

г) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$
Преобразуем левую часть тождества. Заменим $\operatorname{tg}^2 \alpha$ на $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки:
$\sin^2 \alpha (\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\sin^2 \alpha (\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})$.
По основному тождеству $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставим это в выражение:
$\sin^2 \alpha (\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}) = \sin^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha$.
Левая часть тождества равна правой.
Что и требовалось доказать.

5. 1) Как зависят знаки $sin\ \alpha$, $cos\ \alpha$, $tg\ \alpha$, $ctg\ \alpha$ от того, в какой координатной четверти лежит точка $P_\alpha$? Назовите эти знаки.

2) Определите знак:

а) $sin\ (-212^\circ)$ и $ctg\ \frac{7\pi}{9}$;

б) $cos\ 305^\circ$ и $tg\ \left(-\frac{6\pi}{5}\right)$;

в) $cos\ (-105^\circ)$ и $ctg\ \frac{11\pi}{9}$;

г) $sin\ (-324^\circ)$ и $tg\ \frac{9\pi}{4}$.

3) По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит $\alpha$, найдите значения остальных трех основных тригонометрических функций:

а) $sin\ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

б) $ctg\ \alpha = -3$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

в) $tg\ \alpha = \frac{1}{2}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

г) $cos\ \alpha = \frac{1}{7}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

1) Как зависят знаки sin α, cos α, tg α, ctg α от того, в какой координатной четверти лежит точка Pα? Назовите эти знаки.

Знаки тригонометрических функций зависят от координатной четверти, в которой находится угол $\alpha$. Единичная окружность, используемая для определения тригонометрических функций, делится осями координат на четыре четверти. Для точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, имеем $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$):
  Здесь $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha > 0$ (положительный)
  • $\cos \alpha > 0$ (положительный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > 0$ (положительный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} > 0$ (положительный)
  В I четверти все тригонометрические функции положительны.
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$):
  Здесь $x < 0$ и $y > 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha > 0$ (положительный)
  • $\cos \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (отрицательный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0$ (отрицательный)
  Во II четверти только синус положителен.
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$):
  Здесь $x < 0$ и $y < 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\cos \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > 0$ (положительный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} > 0$ (положительный)
  В III четверти тангенс и котангенс положительны.
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$):
  Здесь $x > 0$ и $y < 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\cos \alpha > 0$ (положительный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (отрицательный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0$ (отрицательный)
  В IV четверти только косинус положителен.

2) Определите знак:

a) $\sin(-212^\circ)$ и $\cot\frac{7\pi}{9}$

Для $\sin(-212^\circ)$: Угол $-212^\circ$ находится в той же четверти, что и угол $-212^\circ + 360^\circ = 148^\circ$. Поскольку $90^\circ < 148^\circ < 180^\circ$, угол лежит во II четверти. Во II четверти синус положителен. Таким образом, $\sin(-212^\circ) > 0$.
Для $\cot\frac{7\pi}{9}$: Сравним угол $\frac{7\pi}{9}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9}$ и $\pi = \frac{9\pi}{9}$. Так как $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$, угол лежит во II четверти. Во II четверти котангенс отрицателен. Таким образом, $\cot\frac{7\pi}{9} < 0$.
Ответ: $\sin(-212^\circ)$ имеет знак плюс (+), $\cot\frac{7\pi}{9}$ имеет знак минус (-).

б) $\cos 305^\circ$ и $\tan(-\frac{6\pi}{5})$

Для $\cos 305^\circ$: Поскольку $270^\circ < 305^\circ < 360^\circ$, угол лежит в IV четверти. В IV четверти косинус положителен. Таким образом, $\cos 305^\circ > 0$.
Для $\tan(-\frac{6\pi}{5})$: Найдем положительный котерминальный угол: $-\frac{6\pi}{5} + 2\pi = -\frac{6\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$. Сравним угол $\frac{4\pi}{5}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5}$ и $\pi = \frac{5\pi}{5}$. Так как $\frac{2.5\pi}{5} < \frac{4\pi}{5} < \frac{5\pi}{5}$, угол лежит во II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен. Таким образом, $\tan(-\frac{6\pi}{5}) < 0$.
Ответ: $\cos 305^\circ$ имеет знак плюс (+), $\tan(-\frac{6\pi}{5})$ имеет знак минус (-).

в) $\cos(-105^\circ)$ и $\cot\frac{11\pi}{9}$

Для $\cos(-105^\circ)$: Угол $-105^\circ$ находится в той же четверти, что и угол $-105^\circ + 360^\circ = 255^\circ$. Поскольку $180^\circ < 255^\circ < 270^\circ$, угол лежит в III четверти. В III четверти косинус отрицателен. Таким образом, $\cos(-105^\circ) < 0$.
Для $\cot\frac{11\pi}{9}$: Сравним угол $\frac{11\pi}{9}$ с границами четвертей: $\pi = \frac{9\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{13.5\pi}{9}$. Так как $\frac{9\pi}{9} < \frac{11\pi}{9} < \frac{13.5\pi}{9}$, угол лежит в III четверти. В III четверти котангенс положителен. Таким образом, $\cot\frac{11\pi}{9} > 0$.
Ответ: $\cos(-105^\circ)$ имеет знак минус (-), $\cot\frac{11\pi}{9}$ имеет знак плюс (+).

г) $\sin(-324^\circ)$ и $\tan\frac{9\pi}{4}$

Для $\sin(-324^\circ)$: Угол $-324^\circ$ находится в той же четверти, что и угол $-324^\circ + 360^\circ = 36^\circ$. Поскольку $0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$, угол лежит в I четверти. В I четверти синус положителен. Таким образом, $\sin(-324^\circ) > 0$.
Для $\tan\frac{9\pi}{4}$: Найдем котерминальный угол в пределах от 0 до $2\pi$: $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$. Угол котерминален углу $\frac{\pi}{4}$, который лежит в I четверти. В I четверти тангенс положителен. Таким образом, $\tan\frac{9\pi}{4} > 0$.
Ответ: $\sin(-324^\circ)$ имеет знак плюс (+), $\tan\frac{9\pi}{4}$ имеет знак плюс (+).

3) По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит α, найдите значения остальных трех основных тригонометрических функций:

a) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

Угол $\alpha$ находится во II четверти. В этой четверти $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.
1. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдем $\cot\alpha$:
$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cot\alpha = -\sqrt{2}$.

б) $\cot\alpha = -3$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

Угол $\alpha$ находится в IV четверти. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha < 0$.
1. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = -\frac{1}{3}$.
2. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \Rightarrow \sin^2\alpha = \frac{1}{10}$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $\sin\alpha < 0$, поэтому $\sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
3. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha$.
$\cos\alpha = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tan\alpha = -\frac{1}{3}$.

в) $\tan\alpha = \frac{1}{2}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

Угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\cot\alpha > 0$.
1. Найдем $\cot\alpha$:
$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{1/2} = 2$.
2. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow \cos^2\alpha = \frac{4}{5}$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
3. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.
$\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cot\alpha = 2$.

г) $\cos\alpha = \frac{1}{7}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Угол $\alpha$ находится в I четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны: $\sin\alpha > 0$, $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
1. Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$.
Так как $\alpha$ в I четверти, $\sin\alpha > 0$, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{1}{7}} = 4\sqrt{3}$.
3. Найдем $\cot\alpha$:
$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{3}}{7}$, $\tan\alpha = 4\sqrt{3}$, $\cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{12}$.