Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 4, страница 91.

№4 (с. 91)
Условие. №4 (с. 91)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 91, номер 4, Условие

4. 1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента.

2) Упростите выражение:

a) $ (tg \alpha + ctg \alpha) (1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha) $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos \alpha} $;

в) $ \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{1}{1 + ctg^2 \alpha} $;

г) $ \sin^3 \alpha (1 + ctg \alpha) + \cos^3 \alpha (1 + tg \alpha) $.

3) Докажите тождество:

a) $ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} $;

б) $ \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - ctg \alpha} = 2 tg^2 \alpha $;

в) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

г) $ tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Решение 5. №4 (с. 91)

1) Основные формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента $\alpha$:

  • Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
  • Определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
  • Связь тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$
  • Следствия из основного тождества: $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

2) Упростите выражение:

а) $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) (1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha)$
Сначала применяем формулу разности квадратов к произведению последних двух скобок: $(1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Затем преобразуем первую скобку, выражая тангенс и котангенс через синус и косинус и приводя к общему знаменателю:
$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.

б) $\frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$
Разделим каждую дробь на два слагаемых:
$(\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha}{\sin \alpha}) + (\frac{\cos^3 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}) = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 + \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha$:
$1 + \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Применим формулу разности квадратов к числителю $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Выражение принимает вид: $1 + \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 + \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $1 + \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha$.

в) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$
Используем известные тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставляем их в исходное выражение:
$\frac{1}{1/\cos^2 \alpha} + \frac{1}{1/\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, сумма равна 1.
Ответ: $1$.

г) $\sin^3 \alpha (1 + \operatorname{ctg} \alpha) + \cos^3 \alpha (1 + \operatorname{tg} \alpha)$
Заменим котангенс и тангенс через синус и косинус:
$\sin^3 \alpha (1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) + \cos^3 \alpha (1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$\sin^3 \alpha (\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}) + \cos^3 \alpha (\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Сократим дроби:
$\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Вынесем общий множитель $(\sin \alpha + \cos \alpha)$ за скобки:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 \cdot (\sin \alpha + \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha + \cos \alpha$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}$
Для доказательства тождества можно воспользоваться методом перекрестного умножения. Равенство является верным, если $\cos \alpha \cdot \cos \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$.
Левая часть: $\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha$.
Правая часть: $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Так как обе части равны $\cos^2 \alpha$, тождество верно.
Что и требовалось доказать.

б) $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = 2 \operatorname{tg}^2 \alpha$
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части.
Числитель: $1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - ((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = -2\sin \alpha \cos \alpha$.
Знаменатель: $\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha = \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha(\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}$. Так как $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, знаменатель равен $\frac{\cos \alpha(-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-2\sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\operatorname{tg}^2 \alpha$.
Левая часть равна правой.
Что и требовалось доказать.

в) $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$
Воспользуемся перекрестным умножением. Равенство верно, если $\sin \alpha \cdot \sin \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
Левая часть: $\sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha$.
Правая часть: $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Обе части равны $\sin^2 \alpha$, тождество доказано.
Что и требовалось доказать.

г) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$
Преобразуем левую часть тождества. Заменим $\operatorname{tg}^2 \alpha$ на $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки:
$\sin^2 \alpha (\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\sin^2 \alpha (\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})$.
По основному тождеству $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставим это в выражение:
$\sin^2 \alpha (\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}) = \sin^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha$.
Левая часть тождества равна правой.
Что и требовалось доказать.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 91 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 91), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.