Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 4, страница 91.

Условие.

4. 1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента.

2) Упростите выражение:

a) $ (tg \alpha + ctg \alpha) (1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha) $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos \alpha} $;

в) $ \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} + \frac{1}{1 + ctg^2 \alpha} $;

г) $ \sin^3 \alpha (1 + ctg \alpha) + \cos^3 \alpha (1 + tg \alpha) $.

3) Докажите тождество:

a) $ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} $;

б) $ \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - ctg \alpha} = 2 tg^2 \alpha $;

в) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} $;

г) $ tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = tg^2 \alpha \sin^2 \alpha $.

Решение 5.

1) Основные формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента $\alpha$:

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• Определения тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
• Связь тангенса и котангенса: $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$
• Следствия из основного тождества: $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

2) Упростите выражение:

а) $(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha) (1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha)$
Сначала применяем формулу разности квадратов к произведению последних двух скобок: $(1 + \cos \alpha) (1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Затем преобразуем первую скобку, выражая тангенс и котангенс через синус и косинус и приводя к общему знаменателю:
$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.

б) $\frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$
Разделим каждую дробь на два слагаемых:
$(\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin^3 \alpha}{\sin \alpha}) + (\frac{\cos^3 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}) = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 + \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha$:
$1 + \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Применим формулу разности квадратов к числителю $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Выражение принимает вид: $1 + \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 + \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha$.
Ответ: $1 + \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha$.

в) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}$
Используем известные тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставляем их в исходное выражение:
$\frac{1}{1/\cos^2 \alpha} + \frac{1}{1/\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, сумма равна 1.
Ответ: $1$.

г) $\sin^3 \alpha (1 + \operatorname{ctg} \alpha) + \cos^3 \alpha (1 + \operatorname{tg} \alpha)$
Заменим котангенс и тангенс через синус и косинус:
$\sin^3 \alpha (1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) + \cos^3 \alpha (1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$\sin^3 \alpha (\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha}) + \cos^3 \alpha (\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha})$.
Сократим дроби:
$\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Вынесем общий множитель $(\sin \alpha + \cos \alpha)$ за скобки:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 \cdot (\sin \alpha + \cos \alpha) = \sin \alpha + \cos \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha + \cos \alpha$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}$
Для доказательства тождества можно воспользоваться методом перекрестного умножения. Равенство является верным, если $\cos \alpha \cdot \cos \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$.
Левая часть: $\cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos^2 \alpha$.
Правая часть: $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Так как обе части равны $\cos^2 \alpha$, тождество верно.
Что и требовалось доказать.

б) $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = 2 \operatorname{tg}^2 \alpha$
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части.
Числитель: $1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - ((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = -2\sin \alpha \cos \alpha$.
Знаменатель: $\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha = \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha(\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}$. Так как $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, знаменатель равен $\frac{\cos \alpha(-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{-2\sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\operatorname{tg}^2 \alpha$.
Левая часть равна правой.
Что и требовалось доказать.

в) $\frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$
Воспользуемся перекрестным умножением. Равенство верно, если $\sin \alpha \cdot \sin \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$.
Левая часть: $\sin \alpha \cdot \sin \alpha = \sin^2 \alpha$.
Правая часть: $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Обе части равны $\sin^2 \alpha$, тождество доказано.
Что и требовалось доказать.

г) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$
Преобразуем левую часть тождества. Заменим $\operatorname{tg}^2 \alpha$ на $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки:
$\sin^2 \alpha (\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\sin^2 \alpha (\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha})$.
По основному тождеству $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставим это в выражение:
$\sin^2 \alpha (\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}) = \sin^2 \alpha \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha$.
Левая часть тождества равна правой.
Что и требовалось доказать.