Номер 5, страница 91 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 5, страница 91.

Условие.

5. 1) Как зависят знаки $sin\ \alpha$, $cos\ \alpha$, $tg\ \alpha$, $ctg\ \alpha$ от того, в какой координатной четверти лежит точка $P_\alpha$? Назовите эти знаки.

2) Определите знак:

а) $sin\ (-212^\circ)$ и $ctg\ \frac{7\pi}{9}$;

б) $cos\ 305^\circ$ и $tg\ \left(-\frac{6\pi}{5}\right)$;

в) $cos\ (-105^\circ)$ и $ctg\ \frac{11\pi}{9}$;

г) $sin\ (-324^\circ)$ и $tg\ \frac{9\pi}{4}$.

3) По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит $\alpha$, найдите значения остальных трех основных тригонометрических функций:

а) $sin\ \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

б) $ctg\ \alpha = -3$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

в) $tg\ \alpha = \frac{1}{2}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

г) $cos\ \alpha = \frac{1}{7}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Решение 5.

1) Как зависят знаки sin α, cos α, tg α, ctg α от того, в какой координатной четверти лежит точка Pα? Назовите эти знаки.

Знаки тригонометрических функций зависят от координатной четверти, в которой находится угол $\alpha$. Единичная окружность, используемая для определения тригонометрических функций, делится осями координат на четыре четверти. Для точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, имеем $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$):
  Здесь $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha > 0$ (положительный)
  • $\cos \alpha > 0$ (положительный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > 0$ (положительный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} > 0$ (положительный)
  В I четверти все тригонометрические функции положительны.
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$):
  Здесь $x < 0$ и $y > 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha > 0$ (положительный)
  • $\cos \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (отрицательный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0$ (отрицательный)
  Во II четверти только синус положителен.
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$):
  Здесь $x < 0$ и $y < 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\cos \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > 0$ (положительный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} > 0$ (положительный)
  В III четверти тангенс и котангенс положительны.
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$):
  Здесь $x > 0$ и $y < 0$. Следовательно:
  • $\sin \alpha < 0$ (отрицательный)
  • $\cos \alpha > 0$ (положительный)
  • $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (отрицательный)
  • $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0$ (отрицательный)
  В IV четверти только косинус положителен.

2) Определите знак:

a) $\sin(-212^\circ)$ и $\cot\frac{7\pi}{9}$

Для $\sin(-212^\circ)$: Угол $-212^\circ$ находится в той же четверти, что и угол $-212^\circ + 360^\circ = 148^\circ$. Поскольку $90^\circ < 148^\circ < 180^\circ$, угол лежит во II четверти. Во II четверти синус положителен. Таким образом, $\sin(-212^\circ) > 0$.
Для $\cot\frac{7\pi}{9}$: Сравним угол $\frac{7\pi}{9}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9}$ и $\pi = \frac{9\pi}{9}$. Так как $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$, угол лежит во II четверти. Во II четверти котангенс отрицателен. Таким образом, $\cot\frac{7\pi}{9} < 0$.
Ответ: $\sin(-212^\circ)$ имеет знак плюс (+), $\cot\frac{7\pi}{9}$ имеет знак минус (-).

б) $\cos 305^\circ$ и $\tan(-\frac{6\pi}{5})$

Для $\cos 305^\circ$: Поскольку $270^\circ < 305^\circ < 360^\circ$, угол лежит в IV четверти. В IV четверти косинус положителен. Таким образом, $\cos 305^\circ > 0$.
Для $\tan(-\frac{6\pi}{5})$: Найдем положительный котерминальный угол: $-\frac{6\pi}{5} + 2\pi = -\frac{6\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$. Сравним угол $\frac{4\pi}{5}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5}$ и $\pi = \frac{5\pi}{5}$. Так как $\frac{2.5\pi}{5} < \frac{4\pi}{5} < \frac{5\pi}{5}$, угол лежит во II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен. Таким образом, $\tan(-\frac{6\pi}{5}) < 0$.
Ответ: $\cos 305^\circ$ имеет знак плюс (+), $\tan(-\frac{6\pi}{5})$ имеет знак минус (-).

в) $\cos(-105^\circ)$ и $\cot\frac{11\pi}{9}$

Для $\cos(-105^\circ)$: Угол $-105^\circ$ находится в той же четверти, что и угол $-105^\circ + 360^\circ = 255^\circ$. Поскольку $180^\circ < 255^\circ < 270^\circ$, угол лежит в III четверти. В III четверти косинус отрицателен. Таким образом, $\cos(-105^\circ) < 0$.
Для $\cot\frac{11\pi}{9}$: Сравним угол $\frac{11\pi}{9}$ с границами четвертей: $\pi = \frac{9\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{13.5\pi}{9}$. Так как $\frac{9\pi}{9} < \frac{11\pi}{9} < \frac{13.5\pi}{9}$, угол лежит в III четверти. В III четверти котангенс положителен. Таким образом, $\cot\frac{11\pi}{9} > 0$.
Ответ: $\cos(-105^\circ)$ имеет знак минус (-), $\cot\frac{11\pi}{9}$ имеет знак плюс (+).

г) $\sin(-324^\circ)$ и $\tan\frac{9\pi}{4}$

Для $\sin(-324^\circ)$: Угол $-324^\circ$ находится в той же четверти, что и угол $-324^\circ + 360^\circ = 36^\circ$. Поскольку $0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$, угол лежит в I четверти. В I четверти синус положителен. Таким образом, $\sin(-324^\circ) > 0$.
Для $\tan\frac{9\pi}{4}$: Найдем котерминальный угол в пределах от 0 до $2\pi$: $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$. Угол котерминален углу $\frac{\pi}{4}$, который лежит в I четверти. В I четверти тангенс положителен. Таким образом, $\tan\frac{9\pi}{4} > 0$.
Ответ: $\sin(-324^\circ)$ имеет знак плюс (+), $\tan\frac{9\pi}{4}$ имеет знак плюс (+).

3) По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит α, найдите значения остальных трех основных тригонометрических функций:

a) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

Угол $\alpha$ находится во II четверти. В этой четверти $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.
1. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдем $\cot\alpha$:
$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
Ответ: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cot\alpha = -\sqrt{2}$.

б) $\cot\alpha = -3$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$

Угол $\alpha$ находится в IV четверти. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$, $\tan\alpha < 0$.
1. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = -\frac{1}{3}$.
2. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 \Rightarrow \sin^2\alpha = \frac{1}{10}$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $\sin\alpha < 0$, поэтому $\sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
3. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha$.
$\cos\alpha = (-3) \cdot (-\frac{\sqrt{10}}{10}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tan\alpha = -\frac{1}{3}$.

в) $\tan\alpha = \frac{1}{2}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

Угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha < 0$, $\cot\alpha > 0$.
1. Найдем $\cot\alpha$:
$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{1/2} = 2$.
2. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Rightarrow \cos^2\alpha = \frac{4}{5}$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому $\cos\alpha = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
3. Найдем $\sin\alpha$ из тождества $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$.
$\sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cot\alpha = 2$.

г) $\cos\alpha = \frac{1}{7}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Угол $\alpha$ находится в I четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны: $\sin\alpha > 0$, $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$.
1. Найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$.
Так как $\alpha$ в I четверти, $\sin\alpha > 0$, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}}{\frac{1}{7}} = 4\sqrt{3}$.
3. Найдем $\cot\alpha$:
$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12}$.
Ответ: $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{3}}{7}$, $\tan\alpha = 4\sqrt{3}$, $\cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{12}$.