Номер 12, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 12, страница 94.

Условие.

12. 1) Что такое график функции?

2) Постройте график функции:

а) $y = \frac{2}{x-1}$; б) $y = 2 - \cos x$; в) $y = \sqrt{x+2}$; г) $y = \sin x - 1$.

3) Найдите точки пересечения графика функции $f$ с осями координат:

а) $f(x) = x^3 - 4x$; б) $f(x) = \frac{1}{x} + 1$;

в) $f(x) = 1 - x^4$; г) $f(x) = \frac{1}{x-3}$.

Решение 5.

1) Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента $x$ из области определения функции, а ординаты — соответствующим значениям функции $y$.

2) а) Для построения графика функции $y = \frac{2}{x-1}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола).
1. Строим график функции $y = \frac{1}{x}$.
2. Растягиваем его в 2 раза вдоль оси Оy, получаем график $y = \frac{2}{x}$.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вправо вдоль оси Ох.
В результате получаем гиперболу с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки, например, $(2, 2)$, $(3, 1)$, $(0, -2)$, $(-1, -1)$.
Ответ: График функции представляет собой гиперболу, полученную сдвигом графика $y=\frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: $x=1$, $y=0$.

2) б) Для построения графика функции $y = 2 - \cos x$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Строим график $y = \cos x$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси Ох, чтобы получить график $y = -\cos x$.
3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Оу.
В результате получаем косинусоиду, которая колеблется между значениями $y=1$ (минимум) и $y=3$ (максимум). Период функции $2\pi$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 3)$, $(\frac{3\pi}{2}, 2)$, $(2\pi, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой косинусоиду, отраженную относительно оси Ох и смещенную на 2 единицы вверх.

2) в) Для построения графика функции $y = \sqrt{x+2}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
1. Строим график $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно прямой $y=x$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы влево вдоль оси Ох.
Область определения функции: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. График начинается в точке $(-2, 0)$ и идет вправо и вверх, проходя через точки $(-1, 1)$, $(2, 2)$ и т.д.
Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы, полученную сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево.

2) г) Для построения графика функции $y = \sin x - 1$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Строим график $y = \sin x$ (синусоиду).
2. Сдвигаем его на 1 единицу вниз вдоль оси Оу.
В результате получаем синусоиду, которая колеблется между значениями $y=-2$ (минимум) и $y=0$ (максимум). Период функции $2\pi$. Ключевые точки: $(0, -1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, -2)$, $(2\pi, -1)$.
Ответ: График функции представляет собой синусоиду, смещенную на 1 единицу вниз.

3) а) $f(x) = x^3 - 4x$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
$f(0) = 0^3 - 4 \cdot 0 = 0$.
Точка пересечения с осью Оу: $(0, 0)$.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
Точки пересечения с осью Ох: $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.
Ответ: с осью Оу: $(0, 0)$; с осью Ох: $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$.

3) б) $f(x) = \frac{1}{x} + 1$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
При $x=0$ функция не определена (деление на ноль). Следовательно, пересечения с осью Оу нет.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$\frac{1}{x} + 1 = 0$
$\frac{1}{x} = -1$
$x = -1$.
Точка пересечения с осью Ох: $(-1, 0)$.
Ответ: с осью Оу: нет; с осью Ох: $(-1, 0)$.

3) в) $f(x) = 1 - x^4$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
$f(0) = 1 - 0^4 = 1$.
Точка пересечения с осью Оу: $(0, 1)$.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$1 - x^4 = 0$
$x^4 = 1$
$x = \pm 1$.
Точки пересечения с осью Ох: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
Ответ: с осью Оу: $(0, 1)$; с осью Ох: $(-1, 0)$, $(1, 0)$.

3) г) $f(x) = \frac{1}{x-3}$.
1. Пересечение с осью Оу (x=0):
$f(0) = \frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}$.
Точка пересечения с осью Оу: $(0, -\frac{1}{3})$.
2. Пересечение с осью Ох (y=0, или f(x)=0):
$\frac{1}{x-3} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как дробь равна нулю, только если числитель равен нулю, а он равен 1. Следовательно, пересечений с осью Ох нет.
Ответ: с осью Оу: $(0, -\frac{1}{3})$; с осью Ох: нет.