Номер 9, страница 93 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 9, страница 93.

Условие.

9. 1) Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов).

2) Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:

а) $\cos 117^\circ + \cos 63^\circ$;

б) $\frac{\sin 70^\circ - \sin 10^\circ}{\cos 40^\circ}$;

в) $\cos \frac{19\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$;

г) $\sin 112^\circ + \sin 248^\circ$.

3) Докажите тождество:

а) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha$;

б) $(\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha$;

в) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta}{\cos 2\alpha + \cos 2\beta} = \operatorname{tg} (\alpha + \beta)$;

г) $\sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \sin 6\alpha = 4 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha$.

Решение 5.

1) Формулы суммы и разности синусов и косинусов:

Сумма синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

Разность синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $

Сумма косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

Разность косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $

2) Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:

а) Для вычисления $ \cos 117^\circ + \cos 63^\circ $ используем формулу суммы косинусов:
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $
$ \cos 117^\circ + \cos 63^\circ = 2 \cos \frac{117^\circ + 63^\circ}{2} \cos \frac{117^\circ - 63^\circ}{2} = 2 \cos \frac{180^\circ}{2} \cos \frac{54^\circ}{2} = 2 \cos 90^\circ \cos 27^\circ $
Так как $ \cos 90^\circ = 0 $, то все выражение равно нулю.
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos 27^\circ = 0 $
Ответ: 0

б) Для вычисления $ \frac{\sin 70^\circ - \sin 10^\circ}{\cos 40^\circ} $ преобразуем числитель по формуле разности синусов:
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $
$ \sin 70^\circ - \sin 10^\circ = 2 \sin \frac{70^\circ - 10^\circ}{2} \cos \frac{70^\circ + 10^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 40^\circ $
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin 30^\circ \cos 40^\circ}{\cos 40^\circ} $
Сокращаем $ \cos 40^\circ $ и получаем:
$ 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $
Ответ: 1

в) Для вычисления $ \cos \frac{19\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} $ используем формулу разности косинусов:
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $
$ \cos \frac{19\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12} = -2 \sin \frac{\frac{19\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{19\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{\frac{20\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{18\pi}{12}}{2} $
$ = -2 \sin \frac{5\pi}{6} \sin \frac{3\pi}{4} $
Знаем, что $ \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

г) Для вычисления $ \sin 112^\circ + \sin 248^\circ $ используем формулу суммы синусов:
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $
$ \sin 112^\circ + \sin 248^\circ = 2 \sin \frac{112^\circ + 248^\circ}{2} \cos \frac{112^\circ - 248^\circ}{2} = 2 \sin \frac{360^\circ}{2} \cos \frac{-136^\circ}{2} = 2 \sin 180^\circ \cos(-68^\circ) $
Так как $ \sin 180^\circ = 0 $, то все выражение равно нулю.
$ 2 \cdot 0 \cdot \cos(-68^\circ) = 0 $
Ответ: 0

3) Докажите тождество:

а) $ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha $
Преобразуем левую часть. Применим формулы суммы синусов и косинусов:
Числитель: $ \sin \alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha $
Знаменатель: $ \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $
Подставляем в дробь: $ \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg } 2\alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) $ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha $
Заданное тождество неверно. Проверим его, подставив $ \alpha = \frac{\pi}{4} $:
Левая часть: $ (\sin \frac{\pi}{2} + \sin \pi)^2 - (\cos \frac{\pi}{2} + \cos \pi)^2 = (1 + 0)^2 - (0 - 1)^2 = 1^2 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0 $
Правая часть: $ 4 \cos^2 \frac{\pi}{4} = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2 $
$ 0 \neq 2 $, следовательно, тождество неверно.
Вероятно, в условии опечатка, и между квадратами должен быть знак "+". Докажем исправленное тождество:
$ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 + (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha $
Преобразуем выражения в скобках:
$ \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = 2 \cos 3\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 3\alpha \cos \alpha $
Подставляем в левую часть:
$ (2 \sin 3\alpha \cos \alpha)^2 + (2 \cos 3\alpha \cos \alpha)^2 = 4 \sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 3\alpha \cos^2 \alpha $
$ = 4 \cos^2 \alpha (\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:
$ = 4 \cos^2 \alpha \cdot 1 = 4 \cos^2 \alpha $
Левая часть равна правой, исправленное тождество доказано.
Ответ: Исходное тождество неверно. Доказано исправленное тождество $ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha)^2 + (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha)^2 = 4 \cos^2 \alpha $.

в) $ \frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta}{\cos 2\alpha + \cos 2\beta} = \text{tg} (\alpha + \beta) $
Преобразуем левую часть. Применим формулы суммы синусов и косинусов:
Числитель: $ \sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $
Знаменатель: $ \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} = 2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) $
Подставляем в дробь: $ \frac{2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

г) $ \sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \sin 6\alpha = 4 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha $
Преобразуем левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые:
$ (\sin 2\alpha + \sin 6\alpha) + \sin 4\alpha $
Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках:
$ \sin 2\alpha + \sin 6\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha + 6\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 6\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos(-2\alpha) = 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha $
Подставим обратно: $ 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha + \sin 4\alpha $
Вынесем общий множитель $ \sin 4\alpha $:
$ \sin 4\alpha (2 \cos 2\alpha + 1) $
Это не приводит к результату. Попробуем другую группировку: $ (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) + \sin 6\alpha $
$ \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha+4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos \alpha $
Выражение принимает вид: $ 2 \sin 3\alpha \cos \alpha + \sin 6\alpha $
Применим формулу двойного угла для $ \sin 6\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha $
$ 2 \sin 3\alpha \cos \alpha + 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha $
Вынесем общий множитель $ 2 \sin 3\alpha $:
$ 2 \sin 3\alpha (\cos \alpha + \cos 3\alpha) $
Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:
$ \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $
Подставляем обратно: $ 2 \sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha \cos \alpha) = 4 \sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.