Номер 11, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 11, страница 94.

№11 (с. 94)
Условие. №11 (с. 94)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 94, номер 11, Условие

11. 1) Что такое числовая функция, ее область определения, область значений?

2) Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{3x+1}{x^2-7x+12}$;

б) $y = \frac{1}{\sin x}$;

в) $y = \sqrt{4-x^2}$;

г) $y = \frac{1}{\cos x}$.

3) Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cos x - 1$;

б) $y = \frac{1}{x^2} + 1$;

в) $y = 2 - \sin x$;

г) $y = 3 - x^4$.

Решение 5. №11 (с. 94)

1)

Числовая функция — это правило или закон, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого числового множества $D$ ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$ из множества $E$. Функцию обычно обозначают как $y = f(x)$, где $x$ — аргумент, а $y$ — значение функции.

Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция определена (т.е. можно вычислить соответствующее значение $y$).

Область значений функции (обозначается $E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ для всех значений $x$ из ее области определения.

2) Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{3x+1}{x^2-7x+12}$
Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не обращается в ноль. Найдем значения $x$, которые нужно исключить, решив квадратное уравнение:$x^2-7x+12 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=3$ и $x=4$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sin x}$
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.$\sin x \neq 0$
Функция $\sin x$ равна нулю при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

в) $y = \sqrt{4-x^2}$
Функция определена, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
Это неравенство равносильно $|x| \le 2$, что означает $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $D(y) = [-2; 2]$.

г) $y = \frac{1}{\cos x}$
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.$\cos x \neq 0$
Функция $\cos x$ равна нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

3) Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cos x - 1$
Область значений косинуса — отрезок $[-1; 1]$, то есть:$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части двойного неравенства на 3:$-3 \le 3 \cos x \le 3$
Вычтем 1 из всех частей:$-3 - 1 \le 3 \cos x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le y \le 4$
Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.

б) $y = \frac{1}{x^2} + 1$
Так как $x^2 \ge 0$ и $x \neq 0$ (из-за знаменателя), то $x^2 > 0$.
Тогда его обратная величина $\frac{1}{x^2}$ также всегда положительна: $\frac{1}{x^2} > 0$.
Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получаем:$\frac{1}{x^2} + 1 > 1$
$y > 1$
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

в) $y = 2 - \sin x$
Область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$:$-1 \le \sin x \le 1$
Умножим на -1 (знаки неравенства изменятся на противоположные):$1 \ge -\sin x \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le -\sin x \le 1$.
Прибавим 2 ко всем частям:$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$
$1 \le y \le 3$
Ответ: $E(y) = [1; 3]$.

г) $y = 3 - x^4$
Выражение $x^4$ принимает любые неотрицательные значения, так как степень четная: $x^4 \ge 0$.
Умножим на -1 (знак неравенства изменится на противоположный):$-x^4 \le 0$
Прибавим 3 к обеим частям:$3 - x^4 \le 3$
$y \le 3$
Ответ: $E(y) = (-\infty; 3]$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 11 расположенного на странице 94 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11 (с. 94), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.