Номер 11, страница 94 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 11, страница 94.

Условие.

11. 1) Что такое числовая функция, ее область определения, область значений?

2) Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{3x+1}{x^2-7x+12}$;

б) $y = \frac{1}{\sin x}$;

в) $y = \sqrt{4-x^2}$;

г) $y = \frac{1}{\cos x}$.

3) Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cos x - 1$;

б) $y = \frac{1}{x^2} + 1$;

в) $y = 2 - \sin x$;

г) $y = 3 - x^4$.

Решение 5.

1)

Числовая функция — это правило или закон, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого числового множества $D$ ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$ из множества $E$. Функцию обычно обозначают как $y = f(x)$, где $x$ — аргумент, а $y$ — значение функции.

Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, для которых функция определена (т.е. можно вычислить соответствующее значение $y$).

Область значений функции (обозначается $E(f)$ или $E(y)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$ для всех значений $x$ из ее области определения.

2) Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{3x+1}{x^2-7x+12}$
Данная функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не обращается в ноль. Найдем значения $x$, которые нужно исключить, решив квадратное уравнение:$x^2-7x+12 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=3$ и $x=4$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{\sin x}$
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.$\sin x \neq 0$
Функция $\sin x$ равна нулю при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

в) $y = \sqrt{4-x^2}$
Функция определена, если выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
Это неравенство равносильно $|x| \le 2$, что означает $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $D(y) = [-2; 2]$.

г) $y = \frac{1}{\cos x}$
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю.$\cos x \neq 0$
Функция $\cos x$ равна нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

3) Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \cos x - 1$
Область значений косинуса — отрезок $[-1; 1]$, то есть:$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части двойного неравенства на 3:$-3 \le 3 \cos x \le 3$
Вычтем 1 из всех частей:$-3 - 1 \le 3 \cos x - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le y \le 4$
Ответ: $E(y) = [-4; 4]$.

б) $y = \frac{1}{x^2} + 1$
Так как $x^2 \ge 0$ и $x \neq 0$ (из-за знаменателя), то $x^2 > 0$.
Тогда его обратная величина $\frac{1}{x^2}$ также всегда положительна: $\frac{1}{x^2} > 0$.
Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получаем:$\frac{1}{x^2} + 1 > 1$
$y > 1$
Ответ: $E(y) = (1; +\infty)$.

в) $y = 2 - \sin x$
Область значений синуса — отрезок $[-1; 1]$:$-1 \le \sin x \le 1$
Умножим на -1 (знаки неравенства изменятся на противоположные):$1 \ge -\sin x \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le -\sin x \le 1$.
Прибавим 2 ко всем частям:$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$
$1 \le y \le 3$
Ответ: $E(y) = [1; 3]$.

г) $y = 3 - x^4$
Выражение $x^4$ принимает любые неотрицательные значения, так как степень четная: $x^4 \ge 0$.
Умножим на -1 (знак неравенства изменится на противоположный):$-x^4 \le 0$
Прибавим 3 к обеим частям:$3 - x^4 \le 3$
$y \le 3$
Ответ: $E(y) = (-\infty; 3]$.