Номер 174, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 174, страница 84.

Условие.

174.—

a) $cos 5x - cos 3x = 0;$

б) $sin 7x - sin x = cos 4x;$

в) $sin 5x - sin x = 0;$

г) $cos 3x + cos x = 4 cos 2x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \cos 5x - \cos 3x = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ -2 \sin\frac{5x+3x}{2} \sin\frac{5x-3x}{2} = 0 $

$ -2 \sin\frac{8x}{2} \sin\frac{2x}{2} = 0 $

$ -2 \sin 4x \sin x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $ \sin 4x = 0 $

2) $ \sin x = 0 $

Решим первое уравнение:

$ 4x = \pi n $, где $ n \in Z $ (Z - множество целых чисел).

$ x = \frac{\pi n}{4} $, $ n \in Z $.

Решим второе уравнение:

$ x = \pi k $, где $ k \in Z $.

Заметим, что вторая серия решений ($x = \pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi n}{4}$). Если в первой формуле взять $ n = 4k $, то получим $ x = \frac{\pi (4k)}{4} = \pi k $. Следовательно, все решения второго уравнения уже содержатся в решениях первого.

Таким образом, общее решение уравнения — это первая серия корней.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

б) $ \sin 7x - \sin x = \cos 4x $

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В нашем случае $ \alpha = 7x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\frac{7x+x}{2} \sin\frac{7x-x}{2} = \cos 4x $

$ 2 \cos\frac{8x}{2} \sin\frac{6x}{2} = \cos 4x $

$ 2 \cos 4x \sin 3x = \cos 4x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2 \cos 4x \sin 3x - \cos 4x = 0 $

$ \cos 4x (2 \sin 3x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $ \cos 4x = 0 $

2) $ 2 \sin 3x - 1 = 0 \Rightarrow \sin 3x = \frac{1}{2} $

Решим первое уравнение:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, $ n \in Z $.

Решим второе уравнение:

$ \sin 3x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого уравнения записывается формулой:

$ 3x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k $, где $ k \in Z $.

$ 3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} $, $ k \in Z $.

Общее решение является объединением двух полученных серий.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in Z $.

в) $ \sin 5x - \sin x = 0 $

Используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

При $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $ получаем:

$ 2 \cos\frac{5x+x}{2} \sin\frac{5x-x}{2} = 0 $

$ 2 \cos\frac{6x}{2} \sin\frac{4x}{2} = 0 $

$ 2 \cos 3x \sin 2x = 0 $

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $ \cos 3x = 0 $

2) $ \sin 2x = 0 $

Решаем первое уравнение:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, $ n \in Z $.

Решаем второе уравнение:

$ 2x = \pi k $, где $ k \in Z $.

$ x = \frac{\pi k}{2} $, $ k \in Z $.

Эти две серии решений представляют собой общее решение уравнения.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in Z $.

г) $ \cos 3x + \cos x = 4 \cos 2x $

Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Здесь $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 4 \cos 2x $

$ 2 \cos\frac{4x}{2} \cos\frac{2x}{2} = 4 \cos 2x $

$ 2 \cos 2x \cos x = 4 \cos 2x $

Перенесем все в одну сторону:

$ 2 \cos 2x \cos x - 4 \cos 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos 2x $ за скобки:

$ 2 \cos 2x (\cos x - 2) = 0 $

Получаем совокупность уравнений:

1) $ \cos 2x = 0 $

2) $ \cos x - 2 = 0 \Rightarrow \cos x = 2 $

Решим первое уравнение:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in Z $.

Рассмотрим второе уравнение:

$ \cos x = 2 $

Поскольку область значений функции косинуса $ [-1, 1] $, это уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.