Номер 167, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 1. Тригонометрические функции. Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств - номер 167, страница 84.

Условие.

167.—

a) $3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 1 = 0;$

б) $\operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0;$

в) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x - 2 = 0;$

г) $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg } x - 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\text{tg } x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = \text{tg } x$. Тогда уравнение примет вид:

$3y^2 + 2y - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. $\text{tg } x = y_1 = \frac{1}{3}$
$x = \text{arctg}\frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = y_2 = -1$
$x = \text{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\text{tg } x - 2 \text{ctg } x + 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x}$. Подставим его в уравнение:

$\text{tg } x - 2 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $\text{tg } x$ (при условии, что $\text{tg } x \neq 0$, что следует из ОДЗ):

$\text{tg}^2 x - 2 + \text{tg } x = 0$

Запишем в стандартном виде: $\text{tg}^2 x + \text{tg } x - 2 = 0$.

Сделаем замену $y = \text{tg } x$:

$y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = -2$
$x = \text{arctg}(-2) + \pi k = -\text{arctg } 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg } x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg } x$. Сделаем замену $y = \text{tg } x$:

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg } x = \frac{1}{2}$
$x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = -2$
$x = \text{arctg}(-2) + \pi k = -\text{arctg } 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \text{ctg } x - 3 \text{tg } x + 5 = 0$

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{1}{\text{tg } x}$:

$2 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} - 3 \text{tg } x + 5 = 0$

Умножим обе части на $\text{tg } x$ (при $\text{tg } x \neq 0$):

$2 - 3 \text{tg}^2 x + 5 \text{tg } x = 0$

Умножим на -1 и запишем в стандартном виде:

$3 \text{tg}^2 x - 5 \text{tg } x - 2 = 0$

Сделаем замену $y = \text{tg } x$:

$3y^2 - 5y - 2 = 0$

Найдем корни. Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg } x = 2$
$x = \text{arctg } 2 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = -\frac{1}{3}$
$x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.