Номер 167, страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Глава 1. Тригонометрические функции - номер 167, страница 84.
№167 (с. 84)
Условие. №167 (с. 84)
скриншот условия

167.—
a) $3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 1 = 0;$
б) $\operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0;$
в) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x - 2 = 0;$
г) $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0.$
Решение 1. №167 (с. 84)

Решение 3. №167 (с. 84)


Решение 4. №167 (с. 84)


Решение 5. №167 (с. 84)
а) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg } x - 1 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\text{tg } x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = \text{tg } x$. Тогда уравнение примет вид:
$3y^2 + 2y - 1 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1. $\text{tg } x = y_1 = \frac{1}{3}$
$x = \text{arctg}\frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg } x = y_2 = -1$
$x = \text{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \text{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $\text{tg } x - 2 \text{ctg } x + 1 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x}$. Подставим его в уравнение:
$\text{tg } x - 2 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} + 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на $\text{tg } x$ (при условии, что $\text{tg } x \neq 0$, что следует из ОДЗ):
$\text{tg}^2 x - 2 + \text{tg } x = 0$
Запишем в стандартном виде: $\text{tg}^2 x + \text{tg } x - 2 = 0$.
Сделаем замену $y = \text{tg } x$:
$y^2 + y - 2 = 0$
Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg } x = -2$
$x = \text{arctg}(-2) + \pi k = -\text{arctg } 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg } x - 2 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg } x$. Сделаем замену $y = \text{tg } x$:
$2y^2 + 3y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg } x = \frac{1}{2}$
$x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg } x = -2$
$x = \text{arctg}(-2) + \pi k = -\text{arctg } 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) $2 \text{ctg } x - 3 \text{tg } x + 5 = 0$
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{1}{\text{tg } x}$:
$2 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} - 3 \text{tg } x + 5 = 0$
Умножим обе части на $\text{tg } x$ (при $\text{tg } x \neq 0$):
$2 - 3 \text{tg}^2 x + 5 \text{tg } x = 0$
Умножим на -1 и запишем в стандартном виде:
$3 \text{tg}^2 x - 5 \text{tg } x - 2 = 0$
Сделаем замену $y = \text{tg } x$:
$3y^2 - 5y - 2 = 0$
Найдем корни. Дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$
$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg } x = 2$
$x = \text{arctg } 2 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg } x = -\frac{1}{3}$
$x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 167 расположенного на странице 84 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №167 (с. 84), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.