Страница 84 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

167.—

a) $3 \operatorname{tg}^2 x + 2 \operatorname{tg} x - 1 = 0;$

б) $\operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0;$

в) $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x - 2 = 0;$

г) $2 \operatorname{ctg} x - 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0.$

а) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg } x - 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\text{tg } x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = \text{tg } x$. Тогда уравнение примет вид:

$3y^2 + 2y - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. $\text{tg } x = y_1 = \frac{1}{3}$
$x = \text{arctg}\frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = y_2 = -1$
$x = \text{arctg}(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\text{tg } x - 2 \text{ctg } x + 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x}$. Подставим его в уравнение:

$\text{tg } x - 2 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $\text{tg } x$ (при условии, что $\text{tg } x \neq 0$, что следует из ОДЗ):

$\text{tg}^2 x - 2 + \text{tg } x = 0$

Запишем в стандартном виде: $\text{tg}^2 x + \text{tg } x - 2 = 0$.

Сделаем замену $y = \text{tg } x$:

$y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg } x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = -2$
$x = \text{arctg}(-2) + \pi k = -\text{arctg } 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg } x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg } x$. Сделаем замену $y = \text{tg } x$:

$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg } x = \frac{1}{2}$
$x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = -2$
$x = \text{arctg}(-2) + \pi k = -\text{arctg } 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \text{ctg } x - 3 \text{tg } x + 5 = 0$

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\text{ctg } x$ на $\frac{1}{\text{tg } x}$:

$2 \cdot \frac{1}{\text{tg } x} - 3 \text{tg } x + 5 = 0$

Умножим обе части на $\text{tg } x$ (при $\text{tg } x \neq 0$):

$2 - 3 \text{tg}^2 x + 5 \text{tg } x = 0$

Умножим на -1 и запишем в стандартном виде:

$3 \text{tg}^2 x - 5 \text{tg } x - 2 = 0$

Сделаем замену $y = \text{tg } x$:

$3y^2 - 5y - 2 = 0$

Найдем корни. Дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg } x = 2$
$x = \text{arctg } 2 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg } x = -\frac{1}{3}$
$x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg } 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

168. a) $2 \cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0;$

б) $4 \cos^2 x - 3 = 0;$

в) $\sqrt{3} \operatorname{tg}^2 x - 3 \operatorname{tg} x = 0;$

г) $4 \sin^2 x - 1 = 0.$

а) $2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos x$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos x = 0$

Это частный случай. Решения этого уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = -\sqrt{3}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения находятся по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$:

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) + 2\pi n$

$x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения обоих уравнений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\cos^2 x - 3 = 0$

Выразим $\cos^2 x$:

$4\cos^2 x = 3$

$\cos^2 x = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эти четыре серии решений ($\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}$) можно объединить в одну более компактную формулу.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3}\tg^2 x - 3\tg x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\tg x$. Вынесем общий множитель $\tg x$ за скобки:

$\tg x (\sqrt{3}\tg x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\tg x = 0$

Решения этого уравнения:
$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\sqrt{3}\tg x - 3 = 0$

$\sqrt{3}\tg x = 3$

$\tg x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

Решения этого уравнения находятся по формуле $x = \arctan(a) + \pi n$:

$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения обоих уравнений.

Ответ: $x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $4\sin^2 x - 1 = 0$

Выразим $\sin^2 x$:

$4\sin^2 x = 1$

$\sin^2 x = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sin x = \pm \frac{1}{2}$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решения по формуле $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Решения первого уравнения соответствуют углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Решения второго — углам $-\frac{\pi}{6}$ (или $\frac{11\pi}{6}$) и $\frac{7\pi}{6}$. Все эти серии решений можно объединить.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнения (169—174).

169.— a) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x = 2 \cos^2 x;$

б) $2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0;$

в) $9 \sin x \cos x - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x;$

г) $2 \sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x.$

а) $3 \sin^2 x + \sin x \cos x = 2 \cos^2 x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3 \sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$

Проверим, являются ли решениями уравнения значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot 0 = 3$

Поскольку $3 \neq 0$, значения $x$, для которых $\cos x = 0$, не являются корнями уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$, не равный нулю.

$3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Используя тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$3 \tan^2 x + \tan x - 2 = 0$

Введем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к исходной переменной:

1) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x - 3 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим в уравнение:

$2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 = 1$

Так как $1 \neq 0$, то $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - 3 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 - 3 \tan x + \tan^2 x = 0$

Перепишем в стандартном виде и сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = \arctan(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $9 \sin x \cos x - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$2 \sin^2 x - 9 \sin x \cos x + 7 \cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляем:

$2 \cdot 1 - 9 \cdot 0 + 7 \cdot 0 = 2$

Поскольку $2 \neq 0$, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:

$2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 9 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 7 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - 9 \tan x + 7 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$2t^2 - 9t + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{9 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{7}{2} \implies x = \arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = \arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$

Перенесем $\cos^2 x$ в левую часть:

$2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$.

$2 \cdot 1 - 0 - 0 = 2$

Так как $2 \neq 0$, то $\cos x \neq 0$. Делим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2 \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Выполним замену $t = \tan x$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Производим обратную замену:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = -\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

170.—

а) $4 \sin^2 x - \sin 2x = 3;$

б) $\cos 2x = 2 \cos x - 1;$

в) $\sin 2x - \cos x = 0;$

г) $\sin 2x + 4 \cos^2 x = 1.$

а) $4 \sin^2 x - \sin 2x = 3$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество, представив число 3 как $3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(4 \sin^2 x - 3 \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, и $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (так как $\cos x \neq 0$):

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$t_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Вернемся к замене:

1) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x = 2 \cos x - 1$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$.

Подставим в уравнение:

$2 \cos^2 x - 1 = 2 \cos x - 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2 \cos^2 x - 2 \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:

$2 \cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin 2x - \cos x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим в уравнение:

$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 2x + 4 \cos^2 x = 1$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Подставим в уравнение:

$2 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, например, в правую:

$0 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x - 4 \cos^2 x$

$\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение, аналогичное уравнению в пункте а). Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид $1 - 0 - 0 = 1 \neq 0$. Значит, можно разделить на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2 \tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$, получим $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к замене:

1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

171.-

a) $2\sin^2 x = \sqrt{3}\sin 2x;$

б) $\sqrt{3}\operatorname{tg} x - \sqrt{3}\operatorname{ctg} x = 2;$

в) $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0;$

г) $\operatorname{tg} x = 3\operatorname{ctg} x.$

а) $2 \sin^2 x = \sqrt{3} \sin 2x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin^2 x = \sqrt{3} (2 \sin x \cos x)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$2 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x \cos x = 0$

$2 \sin x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $2 \sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$

Заметим, что $\cos x \neq 0$, иначе из уравнения следовало бы, что $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0$

$\tan x = \sqrt{3}$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем:

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3} \tan x - \sqrt{3} \cot x = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\cot x = \frac{1}{\tan x}$:

$\sqrt{3} \tan x - \frac{\sqrt{3}}{\tan x} = 2$

Сделаем замену $y = \tan x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{3} y - \frac{\sqrt{3}}{y} = 2$

Умножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что соответствует ОДЗ):

$\sqrt{3} y^2 - \sqrt{3} = 2y$

$\sqrt{3} y^2 - 2y - \sqrt{3} = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$.

$y_1 = \frac{2+4}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$y_2 = \frac{2-4}{2\sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Вернемся к замене $\tan x = y$:

1) $\tan x = \sqrt{3}$

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Оба набора решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно одновременно ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + \sqrt{3} = 0$

$\tan x = -\sqrt{3}$

Решением этого уравнения является:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\tan x = 3 \cot x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\cot x$ на $\frac{1}{\tan x}$:

$\tan x = 3 \cdot \frac{1}{\tan x}$

Умножим обе части на $\tan x$ (при условии $\tan x \neq 0$, что соответствует ОДЗ):

$\tan^2 x = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\tan x = \sqrt{3}$ или $\tan x = -\sqrt{3}$

Решения для этих двух случаев:

1) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

172.—

а) $\sin 2x + 2 \cos 2x = 1;$

б) $\sin^4 \frac{x}{4} - \cos^4 \frac{x}{4} = \frac{1}{2};$

в) $3 \sin 2x + \cos 2x = 2 \cos^2 x;$

г) $1 - \cos x = 2 \sin \frac{x}{2}.$

а) Исходное уравнение: $ \sin 2x + 2 \cos 2x = 1 $.
Воспользуемся формулами двойного угла, выраженными через тангенс половинного угла. Пусть $ t = \tan x $. Тогда $ \sin 2x = \frac{2t}{1+t^2} $ и $ \cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $. Данная подстановка возможна, если $ \cos x \ne 0 $, то есть $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Проверим, являются ли эти значения решениями. Если $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, то $ 2x = \pi + 2\pi k $. Тогда $ \sin 2x = 0 $ и $ \cos 2x = -1 $. Подставим в уравнение: $ 0 + 2(-1) = -2 \ne 1 $. Значит, эти значения не являются решениями, и мы не потеряем корни.
Подставляем выражения для синуса и косинуса в уравнение:
$ \frac{2t}{1+t^2} + 2 \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1 $
Умножим обе части на $ 1+t^2 \ne 0 $:
$ 2t + 2(1-t^2) = 1+t^2 $
$ 2t + 2 - 2t^2 = 1+t^2 $
$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его корни:
Дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $.
$ t_1 = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
$ t_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $
Возвращаемся к переменной $ x $:
1) $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin^4 \frac{x}{4} - \cos^4 \frac{x}{4} = \frac{1}{2} $.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $. В нашем случае $ a = \sin^2 \frac{x}{4} $ и $ b = \cos^2 \frac{x}{4} $.
$ (\sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4})(\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}) = \frac{1}{2} $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.
Вторая скобка равна 1: $ \sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4} = 1 $.
Первая скобка: $ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = -(\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = -\cos(\frac{x}{2}) $.
Уравнение принимает вид:
$ -\cos(\frac{x}{2}) \cdot 1 = \frac{1}{2} $
$ \cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:
$ \frac{x}{2} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ \frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
Умножим на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ 3 \sin 2x + \cos 2x = 2 \cos^2 x $.
Используем формулу понижения степени для косинуса: $ 2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x $.
Подставим это выражение в правую часть уравнения:
$ 3 \sin 2x + \cos 2x = 1 + \cos 2x $
Вычтем $ \cos 2x $ из обеих частей уравнения:
$ 3 \sin 2x = 1 $
$ \sin 2x = \frac{1}{3} $
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для $ \sin \theta = a $ имеет вид $ \theta = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
$ 2x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \frac{(-1)^n}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{(-1)^n}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ 1 - \cos x = 2 \sin \frac{x}{2} $.
Воспользуемся формулой половинного угла для левой части: $ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} $.
Подставим это в уравнение:
$ 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} $
Перенесем все члены в левую часть и разделим на 2:
$ \sin^2 \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 $
Вынесем общий множитель $ \sin \frac{x}{2} $ за скобки:
$ \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $ \sin \frac{x}{2} = 0 $
$ \frac{x}{2} = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
2) $ \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin \frac{x}{2} = 1 $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Объединяем решения из двух случаев.
Ответ: $ x = 2\pi n, x = \pi + 4\pi k, n, k \in \mathbb{Z} $.

173.-

a) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0;$

б) $\frac{3}{5 \operatorname{tg} x + 8} = 1;$

в) $\frac{5}{3 \sin x + 4} = 2;$

г) $1 - \sin 2x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2.$

а) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае, пусть $\alpha = 2x$, тогда $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2\sin 2x \cos 2x + \sin^2 2x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x (2\cos 2x + \sin 2x) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $\sin 2x = 0$
$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
$x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos 2x + \sin 2x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos 2x$. Это можно сделать, так как если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$, что невозможно, поскольку $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$.
$\frac{2\cos 2x}{\cos 2x} + \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 0$
$2 + \tan 2x = 0$
$\tan 2x = -2$
$2x = \arctan(-2) + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = -\arctan 2 + n\pi$
$x = -\frac{\arctan 2}{2} + \frac{n\pi}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, $x = -\frac{\arctan 2}{2} + \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{3}{5\tan x + 8} = 1$

Уравнение имеет смысл при условии, что знаменатель не равен нулю: $5\tan x + 8 \neq 0$. Также должно быть определено значение $\tan x$, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $5\tan x + 8$:
$3 = 1 \cdot (5\tan x + 8)$
$3 = 5\tan x + 8$
$5\tan x = 3 - 8$
$5\tan x = -5$
$\tan x = -1$
Проверим условие $5\tan x + 8 \neq 0$. При $\tan x = -1$ получаем $5(-1) + 8 = -5 + 8 = 3 \neq 0$. Условие выполняется.
Решаем уравнение $\tan x = -1$:
$x = \arctan(-1) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $\frac{5}{3\sin x + 4} = 2$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $3\sin x + 4 \neq 0$. Так как область значений функции синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, $3(-1) + 4 \le 3\sin x + 4 \le 3(1) + 4$, что дает $1 \le 3\sin x + 4 \le 7$.
Знаменатель всегда положителен и не равен нулю, поэтому ограничений на $x$ нет.
Умножим обе части уравнения на знаменатель:
$5 = 2(3\sin x + 4)$
$5 = 6\sin x + 8$
$6\sin x = 5 - 8$
$6\sin x = -3$
$\sin x = -\frac{3}{6}$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + k\pi$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Это решение можно также записать в виде двух серий:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2m\pi$, $m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $1 - \sin 2x = \left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\left(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\right)^2 = \cos^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Для $\alpha = \frac{x}{2}$: $\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1$ и $2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = \sin x$.
Таким образом, правая часть уравнения равна $1 - \sin x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$1 - \sin 2x = 1 - \sin x$
$-\sin 2x = -\sin x$
$\sin 2x = \sin x$
Перенесем все в левую часть:
$\sin 2x - \sin x = 0$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x - \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2\cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\sin x = 0$
$x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - 1 = 0$
$2\cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяем все найденные решения.
Ответ: $x = k\pi$, $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

174.—

a) $cos 5x - cos 3x = 0;$

б) $sin 7x - sin x = cos 4x;$

в) $sin 5x - sin x = 0;$

г) $cos 3x + cos x = 4 cos 2x.$

а) $ \cos 5x - \cos 3x = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $:

$ -2 \sin\frac{5x+3x}{2} \sin\frac{5x-3x}{2} = 0 $

$ -2 \sin\frac{8x}{2} \sin\frac{2x}{2} = 0 $

$ -2 \sin 4x \sin x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $ \sin 4x = 0 $

2) $ \sin x = 0 $

Решим первое уравнение:

$ 4x = \pi n $, где $ n \in Z $ (Z - множество целых чисел).

$ x = \frac{\pi n}{4} $, $ n \in Z $.

Решим второе уравнение:

$ x = \pi k $, где $ k \in Z $.

Заметим, что вторая серия решений ($x = \pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi n}{4}$). Если в первой формуле взять $ n = 4k $, то получим $ x = \frac{\pi (4k)}{4} = \pi k $. Следовательно, все решения второго уравнения уже содержатся в решениях первого.

Таким образом, общее решение уравнения — это первая серия корней.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

б) $ \sin 7x - \sin x = \cos 4x $

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

В нашем случае $ \alpha = 7x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\frac{7x+x}{2} \sin\frac{7x-x}{2} = \cos 4x $

$ 2 \cos\frac{8x}{2} \sin\frac{6x}{2} = \cos 4x $

$ 2 \cos 4x \sin 3x = \cos 4x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2 \cos 4x \sin 3x - \cos 4x = 0 $

$ \cos 4x (2 \sin 3x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $ \cos 4x = 0 $

2) $ 2 \sin 3x - 1 = 0 \Rightarrow \sin 3x = \frac{1}{2} $

Решим первое уравнение:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, $ n \in Z $.

Решим второе уравнение:

$ \sin 3x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого уравнения записывается формулой:

$ 3x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k $, где $ k \in Z $.

$ 3x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3} $, $ k \in Z $.

Общее решение является объединением двух полученных серий.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in Z $.

в) $ \sin 5x - \sin x = 0 $

Используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.

При $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $ получаем:

$ 2 \cos\frac{5x+x}{2} \sin\frac{5x-x}{2} = 0 $

$ 2 \cos\frac{6x}{2} \sin\frac{4x}{2} = 0 $

$ 2 \cos 3x \sin 2x = 0 $

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $ \cos 3x = 0 $

2) $ \sin 2x = 0 $

Решаем первое уравнение:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, $ n \in Z $.

Решаем второе уравнение:

$ 2x = \pi k $, где $ k \in Z $.

$ x = \frac{\pi k}{2} $, $ k \in Z $.

Эти две серии решений представляют собой общее решение уравнения.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in Z $.

г) $ \cos 3x + \cos x = 4 \cos 2x $

Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Здесь $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 4 \cos 2x $

$ 2 \cos\frac{4x}{2} \cos\frac{2x}{2} = 4 \cos 2x $

$ 2 \cos 2x \cos x = 4 \cos 2x $

Перенесем все в одну сторону:

$ 2 \cos 2x \cos x - 4 \cos 2x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2 \cos 2x $ за скобки:

$ 2 \cos 2x (\cos x - 2) = 0 $

Получаем совокупность уравнений:

1) $ \cos 2x = 0 $

2) $ \cos x - 2 = 0 \Rightarrow \cos x = 2 $

Решим первое уравнение:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in Z $.

Рассмотрим второе уравнение:

$ \cos x = 2 $

Поскольку область значений функции косинуса $ [-1, 1] $, это уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

Решите системы уравнений (175—176).

175. a) $\begin{cases} x + y = \pi \\ \cos x - \cos y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} \\ \cos^2 x + \sin^2 y = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = \pi \\ \sin x + \sin y = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ \sin^2 x - \sin^2 y = 1 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = \pi, \\\cos x - \cos y = 1\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} = 1$

Из первого уравнения системы известно, что $x+y = \pi$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$-2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{x-y}{2} = 1$

Так как $\sin\frac{\pi}{2}=1$, получаем:

$-2 \cdot \sin\frac{x-y}{2} = 1$

$\sin\frac{x-y}{2} = -\frac{1}{2}$

Отсюда находим возможные значения для $\frac{x-y}{2}$:

1) $\frac{x-y}{2} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x-y = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{x-y}{2} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \implies x-y = \frac{7\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим две системы линейных уравнений, чтобы найти $x$ и $y$ для каждого случая.

Случай 1:

$\begin{cases}x + y = \pi \\x - y = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем: $2x = \pi - \frac{\pi}{3} + 4\pi k = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $2y = \pi - (-\frac{\pi}{3} + 4\pi k) = \frac{4\pi}{3} - 4\pi k$, откуда $y = \frac{2\pi}{3} - 2\pi k$.

Случай 2:

$\begin{cases}x + y = \pi \\x - y = \frac{7\pi}{3} + 4\pi k\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем: $2x = \pi + \frac{7\pi}{3} + 4\pi k = \frac{10\pi}{3} + 4\pi k$, откуда $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $2y = \pi - (\frac{7\pi}{3} + 4\pi k) = -\frac{4\pi}{3} - 4\pi k$, откуда $y = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} - 2\pi k)$, $(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n, -\frac{2\pi}{3} - 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x - y = \frac{\pi}{2}, \\\cos^2 x + \sin^2 y = 2\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение: $\cos^2 x + \sin^2 y = 2$.

Поскольку максимальное значение для $\cos^2 x$ равно 1 и максимальное значение для $\sin^2 y$ также равно 1, их сумма может быть равна 2 только в том случае, если оба слагаемых равны 1 одновременно.

$\cos^2 x = 1$ и $\sin^2 y = 1$.

Из $\cos^2 x = 1$ следует, что $\cos x = \pm 1$, что соответствует $x = \pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\sin^2 y = 1$ следует, что $\sin y = \pm 1$, что соответствует $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим эти общие решения в первое уравнение системы, чтобы найти связь между $k$ и $n$:

$x - y = \frac{\pi}{2}$

$\pi k - (\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{\pi}{2}$

$\pi k - \frac{\pi}{2} - \pi n = \frac{\pi}{2}$

$\pi k - \pi n = \pi$

Разделив на $\pi$, получим: $k - n = 1$, или $n = k - 1$.

Теперь выразим $y$ через $k$:

$y = \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(k-1) = \frac{\pi}{2} + \pi k - \pi = -\frac{\pi}{2} + \pi k$.

Решения системы имеют вид:

$x = \pi k, \quad y = -\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\pi k, -\frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = \pi, \\\sin x + \sin y = 1\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 1$

Из первого уравнения системы известно, что $x+y = \pi$. Подставим это значение:

$2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 1$

$2 \cdot 1 \cdot \cos\frac{x-y}{2} = 1$

$\cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим возможные значения для $\frac{x-y}{2}$:

$\frac{x-y}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это дает нам два случая для разности $x-y$:

1) $x-y = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$

2) $x-y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$

Теперь решим две системы линейных уравнений.

Случай 1:

$\begin{cases}x + y = \pi \\x - y = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем: $2x = \pi + \frac{2\pi}{3} + 4\pi k = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k$, откуда $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого: $2y = \pi - (\frac{2\pi}{3} + 4\pi k) = \frac{\pi}{3} - 4\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{6} - 2\pi k$.

Случай 2:

$\begin{cases}x + y = \pi \\x - y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем: $2x = \pi - \frac{2\pi}{3} + 4\pi k = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого: $2y = \pi - (-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k) = \frac{5\pi}{3} - 4\pi k$, откуда $y = \frac{5\pi}{6} - 2\pi k$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} - 2\pi k)$, $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} - 2\pi n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = \frac{\pi}{2}, \\\sin^2 x - \sin^2 y = 1\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение: $\sin^2 x - \sin^2 y = 1$.

Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$ и $0 \le \sin^2 y \le 1$, равенство может выполняться только в одном случае: когда $\sin^2 x$ принимает максимальное значение, а $\sin^2 y$ — минимальное.

Следовательно, $\sin^2 x = 1$ и $\sin^2 y = 0$.

Из $\sin^2 x = 1$ следует, что $\sin x = \pm 1$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\sin^2 y = 0$ следует, что $\sin y = 0$, что соответствует $y = \pi n$ для любого целого $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим эти общие решения в первое уравнение системы, чтобы найти связь между $k$ и $n$:

$x + y = \frac{\pi}{2}$

$(\frac{\pi}{2} + \pi k) + \pi n = \frac{\pi}{2}$

$\pi k + \pi n = 0$

$\pi(k+n) = 0$

$k+n = 0$, или $n = -k$.

Теперь выразим $y$ через $k$:

$y = \pi n = \pi(-k) = -\pi k$.

Решения системы имеют вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad y = -\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi k, -\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

176. a) $\begin{cases} \sin x - \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x - \cos^2 y = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6}, \\ \sin x \cos y = \frac{1}{2}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x - \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $\sin x$: $\sin x = \cos y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(\cos y)^2 + \cos^2 y = 2$

$2\cos^2 y = 2$

$\cos^2 y = 1$

Отсюда получаем два случая: $\cos y = 1$ или $\cos y = -1$.

Случай 1: $\cos y = 1$.

Тогда из $\sin x = \cos y$ следует, что $\sin x = 1$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos y = 1 \end{cases} $

Получаем решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $y = 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos y = -1$.

Тогда из $\sin x = \cos y$ следует, что $\sin x = -1$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos y = -1 \end{cases} $

Получаем решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $y = \pi + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi k)$; $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ \tg x \tg y = \frac{1}{6} \end{cases} $

Используем формулу тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$.

Из первого уравнения $x+y = \frac{\pi}{4}$, следовательно, $\tg(x+y) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставим известные значения в формулу:

$1 = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \frac{1}{6}}$

$1 = \frac{\tg x + \tg y}{5/6}$

$\tg x + \tg y = \frac{5}{6}$

Теперь у нас есть система для $\tg x$ и $\tg y$:

$ \begin{cases} \tg x + \tg y = \frac{5}{6} \\ \tg x \tg y = \frac{1}{6} \end{cases} $

По теореме Виета, $\tg x$ и $\tg y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$.

Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.

Находим корни: $t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}$.

Корни: $t_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Возможны два случая:

Случай 1: $\tg x = \frac{1}{2}$ и $\tg y = \frac{1}{3}$.

$x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, $y = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi k$.

Подставляя в $x+y=\frac{\pi}{4}$, получаем $\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) + \pi(n+k) = \frac{\pi}{4}$.

Так как $\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \arctan(\frac{1/2+1/3}{1-1/6}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, то $\frac{\pi}{4} + \pi(n+k) = \frac{\pi}{4}$, откуда $n+k=0$, т.е. $k=-n$.

Решение: $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, $y = \arctan(\frac{1}{3}) - \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\tg x = \frac{1}{3}$ и $\tg y = \frac{1}{2}$.

Аналогично, $x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, $y = \arctan(\frac{1}{2}) - \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\arctan\frac{1}{2} + \pi n, \arctan\frac{1}{3} - \pi n)$; $(\arctan\frac{1}{3} + \pi n, \arctan\frac{1}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x - \cos^2 y = 1 \end{cases} $

Второе уравнение можно разложить по формуле разности квадратов:

$(\sin x - \cos y)(\sin x + \cos y) = 1$

Подставим в это уравнение выражение из первого уравнения системы ($\sin x + \cos y = 1$):

$(\sin x - \cos y) \cdot 1 = 1$

$\sin x - \cos y = 1$

Теперь решаем новую, более простую систему:

$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin x - \cos y = 1 \end{cases} $

Сложим два уравнения: $2\sin x = 2 \Rightarrow \sin x = 1$.

Вычтем второе уравнение из первого: $2\cos y = 0 \Rightarrow \cos y = 0$.

Находим $x$ и $y$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6} \\ \sin x \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму:

$\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$

Подставим в нее данные из системы:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(\frac{\pi}{6}))$

$1 = \sin(x+y) + \sin(\frac{\pi}{6})$

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$1 = \sin(x+y) + \frac{1}{2}$

$\sin(x+y) = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения дает две серии для суммы $x+y$:

1) $x+y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x+y = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1:

$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6} \\ x + y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Вычитая первое из второго, получаем: $2y = 2\pi k \Rightarrow y = \pi k$.

Случай 2:

$ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{6} \\ x + y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Вычитая первое из второго, получаем: $2y = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{3} + \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi k, \pi k)$; $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.