Страница 83 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

164. а) $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0;$

б) $3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0;$

в) $2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0;$

г) $4 \sin^2 x + 11 \sin x - 3 = 0.$

а) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \sin x$, при этом $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
$t_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\sin x = -1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $3t^2 - 5t - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем $t_1 = -\frac{1}{3}$:
$\sin x = -\frac{1}{3}$.
$x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, решение можно записать в виде:
$x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Получаем уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = -\frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $4\sin^2 x + 11\sin x - 3 = 0$
Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $4t^2 + 11t - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.
$t_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Корень $t_1 = -3$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_2 = \frac{1}{4}$:
$\sin x = \frac{1}{4}$.
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

165. а) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0;$

б) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0;$

В) $4 \cos^2 x - 8 \cos x + 3 = 0;$

Г) $5 \sin^2 x + 6 \cos x - 6 = 0.$

а) $6 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $6t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Выполним обратную замену:
1) $\cos x = \frac{1}{3}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$
$2 - 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$
Умножим уравнение на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$2 \cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 3t - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Корень $t_1 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение $\cos x = 2$ не имеет решений.
Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену:
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \cos^2 x - 8 \cos x + 3 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
Уравнение примет вид: $4t^2 - 8t + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Корень $t_1 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $\frac{3}{2} > 1$. Уравнение $\cos x = \frac{3}{2}$ не имеет решений.
Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену:
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $5 \sin^2 x + 6 \cos x - 6 = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$5(1 - \cos^2 x) + 6 \cos x - 6 = 0$
$5 - 5 \cos^2 x + 6 \cos x - 6 = 0$
$-5 \cos^2 x + 6 \cos x - 1 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$5 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$5t^2 - 6t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 = 4^2$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Выполним обратную замену:
1) $\cos x = 1$
$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{1}{5}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

166. а) $2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0$;

б) $\cos^2 x + 3 \sin x = 3$;

в) $4 \cos x = 4 - \sin^2 x$;

г) $8 \sin^2 x + \cos x + 1 = 0$.

а) $2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2 - 2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$

$-2\sin^2 x + \sin x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$2\sin^2 x - \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $t_1 = \frac{3}{2}$. Получаем уравнение $\sin x = \frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $\frac{3}{2} > 1$, что выходит за пределы области значений функции синус.

2. $t_2 = -1$. Получаем уравнение $\sin x = -1$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x + 3 \sin x = 3$

Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-\sin^2 x + 3 \sin x + 1 - 3 = 0$

$-\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

Умножим на -1:

$\sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x = 2$. Уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$.

2. $\sin x = 1$. Решение этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \cos x = 4 - \sin^2 x$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$4 \cos x = 4 - (1 - \cos^2 x)$

$4 \cos x = 4 - 1 + \cos^2 x$

$4 \cos x = 3 + \cos^2 x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$\cos^2 x - 4 \cos x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = 3$. Уравнение не имеет решений, так как $3 > 1$.

2. $\cos x = 1$. Решение этого уравнения:

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $8 \sin^2 x + \cos x + 1 = 0$

Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:

$8(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 = 0$

$8 - 8\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$

$-8\cos^2 x + \cos x + 9 = 0$

Умножим на -1:

$8\cos^2 x - \cos x - 9 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$8t^2 - t - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{1 + 17}{2 \cdot 8} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$

$t_2 = \frac{1 - 17}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = \frac{9}{8}$. Уравнение не имеет решений, так как $\frac{9}{8} > 1$.

2. $\cos x = -1$. Решение этого уравнения:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.