Номер 178, страница 99 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 178, страница 99.

Условие.

178. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = -\frac{2}{x}$, $x_0 = -2$, $\Delta x = 0,1$;

б) $f(x) = 2x^2 - 3$, $x_0 = 3$, $\Delta x = -0,2$;

в) $f(x) = 3x + 1$, $x_0 = 5$, $\Delta x = 0,01$;

г) $f(x) = \frac{x^2}{2}$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Приращение функции $ \Delta f $ в точке $ x_0 $ — это разность между значением функции в точке $ x_0 + \Delta x $ и значением функции в точке $ x_0 $. Оно вычисляется по формуле:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $

Решим каждый подпункт, используя эту формулу.

а) $ f(x) = -\frac{2}{x}, x_0 = -2, \Delta x = 0.1 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = -2 $:

$ f(x_0) = f(-2) = -\frac{2}{-2} = 1 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = -2 + 0.1 = -1.9 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = -1.9 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(-1.9) = -\frac{2}{-1.9} = \frac{2}{1.9} = \frac{20}{19} $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{20}{19} - 1 = \frac{20}{19} - \frac{19}{19} = \frac{1}{19} $

Ответ: $ \frac{1}{19} $.

б) $ f(x) = 2x^2 - 3, x_0 = 3, \Delta x = -0.2 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = 3 $:

$ f(x_0) = f(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 = 2 \cdot 9 - 3 = 18 - 3 = 15 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = 3 + (-0.2) = 2.8 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = 2.8 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(2.8) = 2 \cdot (2.8)^2 - 3 = 2 \cdot 7.84 - 3 = 15.68 - 3 = 12.68 $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 12.68 - 15 = -2.32 $

Ответ: $ -2.32 $.

в) $ f(x) = 3x + 1, x_0 = 5, \Delta x = 0.01 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = 5 $:

$ f(x_0) = f(5) = 3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = 5 + 0.01 = 5.01 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = 5.01 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(5.01) = 3 \cdot 5.01 + 1 = 15.03 + 1 = 16.03 $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 16.03 - 16 = 0.03 $

Ответ: $ 0.03 $.

г) $ f(x) = \frac{x^2}{2}, x_0 = 2, \Delta x = 0.1 $

1. Найдем значение функции в начальной точке $ x_0 = 2 $:

$ f(x_0) = f(2) = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $

2. Найдем новое значение аргумента $ x_0 + \Delta x $:

$ x_0 + \Delta x = 2 + 0.1 = 2.1 $

3. Найдем значение функции в новой точке $ x_0 + \Delta x = 2.1 $:

$ f(x_0 + \Delta x) = f(2.1) = \frac{(2.1)^2}{2} = \frac{4.41}{2} = 2.205 $

4. Вычислим приращение функции $ \Delta f $:

$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 2.205 - 2 = 0.205 $

Ответ: $ 0.205 $.