Номер 180, страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 180, страница 100.

Условие.

180. — Выразите приращение функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $\Delta x$, если:

a) $f(x) = 1 - 3x^2$;

б) $f(x) = ax + b$;

в) $f(x) = 2x^2$;

г) $f(x) = -\frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ — это разность её значений в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$. Оно вычисляется по формуле:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

а) Для функции $f(x) = 1 - 3x^2$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = 1 - 3x_0^2$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно:
$f(x_0 + \Delta x) = 1 - 3(x_0 + \Delta x)^2 = 1 - 3(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 1 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$.
Теперь найдем разность, чтобы получить приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (1 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2) - (1 - 3x_0^2)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = 1 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2 - 1 + 3x_0^2 = -6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$.
Ответ: $\Delta f = -6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$.

б) Для функции $f(x) = ax + b$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = ax_0 + b$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно:
$f(x_0 + \Delta x) = a(x_0 + \Delta x) + b = ax_0 + a\Delta x + b$.
Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (ax_0 + a\Delta x + b) - (ax_0 + b)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = ax_0 + a\Delta x + b - ax_0 - b = a\Delta x$.
Ответ: $\Delta f = a\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = 2x^2$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = 2x_0^2$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно:
$f(x_0 + \Delta x) = 2(x_0 + \Delta x)^2 = 2(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2$.
Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2) - 2x_0^2$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = 2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2 - 2x_0^2 = 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2$.
Ответ: $\Delta f = 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

г) Для функции $f(x) = -\frac{1}{x}$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = -\frac{1}{x_0}$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно $f(x_0 + \Delta x) = -\frac{1}{x_0 + \Delta x}$.
Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left(-\frac{1}{x_0 + \Delta x}\right) - \left(-\frac{1}{x_0}\right) = \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0 + \Delta x}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x_0(x_0 + \Delta x)$ и упростим:
$\Delta f = \frac{1 \cdot (x_0 + \Delta x)}{x_0(x_0 + \Delta x)} - \frac{1 \cdot x_0}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{x_0 + \Delta x - x_0}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$.
Ответ: $\Delta f = \frac{\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$.