Номер 185, страница 101 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 185, страница 101.

Условие.

185. Ребро куба $x$ получило приращение $\Delta x$. Найдите приращение площади полной поверхности куба.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $S(x)$ — это функция, выражающая площадь полной поверхности куба через длину его ребра $x$.

Куб имеет 6 граней, каждая из которых является квадратом со стороной $x$. Площадь одной грани равна $x^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле:
$S(x) = 6x^2$

Начальное значение ребра куба равно $x$. Соответствующая площадь поверхности:
$S_1 = S(x) = 6x^2$

Ребро куба получило приращение $\Delta x$. Новая длина ребра стала $x + \Delta x$. Новая площадь поверхности куба $S_2$ будет:
$S_2 = S(x + \Delta x) = 6(x + \Delta x)^2$

Чтобы найти приращение площади $\Delta S$, нужно вычесть из новой площади первоначальную:
$\Delta S = S_2 - S_1 = S(x + \Delta x) - S(x)$
$\Delta S = 6(x + \Delta x)^2 - 6x^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta S = 6(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 6x^2$
$\Delta S = 6x^2 + 12x\Delta x + 6(\Delta x)^2 - 6x^2$
$\Delta S = 12x\Delta x + 6(\Delta x)^2$

Ответ: $\Delta S = 12x\Delta x + 6(\Delta x)^2$.