Номер 191, страница 107 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 191, страница 107.

Условие.

191.— Вычислите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ в точке $x_0$, если:

a) $f (x) = 2x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x$ равно 0,5; 0,1; 0,01;

б) $f (x) = x^2$, $x_0 = 1$, $\Delta x$ равно 0,5; 0,1; 0,01.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для функции $f(x) = 2x^2$ и точки $x_0 = 1$ необходимо вычислить отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$. Формула для вычисления этого отношения имеет вид:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$.

Далее найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:
$f(1 + \Delta x) = 2(1 + \Delta x)^2 = 2(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) = 2 + 4\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = (2 + 4\Delta x + 2(\Delta x)^2) - 2 = 4\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

Найдем искомое отношение, разделив приращение функции на приращение аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + 2(\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + 2\Delta x$.

Теперь подставим заданные значения $\Delta x$ в полученное выражение:

1. При $\Delta x = 0,5$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 4 + 2 \cdot 0,5 = 4 + 1 = 5$.

2. При $\Delta x = 0,1$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 4 + 2 \cdot 0,1 = 4 + 0,2 = 4,2$.

3. При $\Delta x = 0,01$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 4 + 2 \cdot 0,01 = 4 + 0,02 = 4,02$.

Ответ: 5; 4,2; 4,02.

б)

Для функции $f(x) = x^2$ и точки $x_0 = 1$ вычислим $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ по той же формуле:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$.

Далее найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 1 + \Delta x$:
$f(1 + \Delta x) = (1 + \Delta x)^2 = 1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = (1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 1 = 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

Найдем искомое отношение, разделив приращение функции на приращение аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2 + \Delta x$.

Теперь подставим заданные значения $\Delta x$ в полученное выражение:

1. При $\Delta x = 0,5$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2 + 0,5 = 2,5$.

2. При $\Delta x = 0,1$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2 + 0,1 = 2,1$.

3. При $\Delta x = 0,01$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2 + 0,01 = 2,01$.

Ответ: 2,5; 2,1; 2,01.